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dérivée partielle.md

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+aliases:
+  - dérivées partielles
+up:
+  - "[[dérivée directionnelle]]"
+tags:
+  - s/maths/algèbre
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+> [!definition] Définition
+> Soit $f : \Omega \subset \mathbb{R}^{n} \to F$ avec $\Omega$ [[partie ouverte d'un espace métrique|ouvert]]
+> Soit $x \in \Omega$
+> Pour $i \in [\![1; n]\!]$ on définit au voisinage de $x_{i}$ la fonction 
+> $g_{i}(t) = f(x_1, \dots, x_{i-1}, t, x_{i+1}, \dots, x_{n}) \in F$ (la [[curryfication]] du $i$ème paramètre)
+> On dit alors que $f$ **admet une dérivée partielle en $x$ par rapport à sa $i$ème coordonnée** si $g_{i}$ admet une dérivée en $x_{i}$, c'est-à-dire si :
+> $\lim\limits_{ h \to 0 } \dfrac{g_{i}(x + h) - g_{i}(x)}{h} \in F$  existe
+^definition
+
+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ équivalence entre dérivée partielle et dérivée directionnelle
+> Soit la fonction $f : \Omega \subset \mathbb{R}^{n} \to F$
+> Soit $(e_1, e_2, \dots, e_{n})$ la [[base canonique d'un espace vectoriel|base canonique]] de $\mathbb{R}^{n}$
+> on a équivalence entre :
+>  - $f$ admet une dérivée partielle par rapport à la $i$ème coordonnée en $x$
+>  - $f$ admet en $x$ une [[dérivée directionnelle]] dans la direction $e_{i}$
+> Et on a alors :
+> $\dfrac{ \partial f }{ \partial x_{i} }(x) = D_{e_{i}}f(x)$
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > C'est immédiat :
+> > $\frac{1}{t}(g_{i}(x_{i} + t) - g(x_{i})) = \frac{1}{t}(f(x+t e_{i}) - f(x))$
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+# Exemples
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