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covariance.md

@@ -2,6 +2,11 @@ up:: [[statistiques indices de dispersion]]
 #s/maths/statistiques 
 
 
+> [!definition] Définition
+> Soient $X, Y \in L^{2}$  on appelle covariance de $X$ et $Y$ :
+> $\begin{align} \operatorname{cov}(X, Y) &= \mathbb{E}((X - \mathbb{E}(X)) (Y - \mathbb{E}(Y))) \\&= \mathbb{E}(XY) - \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) \end{align}$
+^definition
+
 > [!définition] 
 > Soient $X$ et $Y$ deux variables
 > $$
@@ -11,4 +16,27 @@ up:: [[statistiques indices de dispersion]]
 > &= \sum\limits_{n}\left( \frac{ \left( X_{n} - \overline{X}\right) \cdot \left( Y_{n} - \overline{Y} \right) }{n} \right) 
 > \end{align}
 > $$
-^definition
+
+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ variables non corellées
+> Si $X$ et $Y$ sont indépendantes
+> Alors $\operatorname{cov}(X, Y) = 0$
+> - i on dit alors que $X$ et $Y$ sont **non corellées**
+> - ! la réciproque n'est pas vraie : on peut avoir une covariance nulle sans que $X$ et $Y$ soient indépendantes
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > on sait que si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $\mathbb{E}(XY) = \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$
+> > D'où suit que, dans ce cas, on aie $\operatorname{cov}(X, Y) = \mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) = 0$
+> > 
+^corellation
+
+> [!proposition]+  Lien avec la variance
+> $\operatorname{cov}(X, X) = \mathbb{V}(X)$
+> voir [[variance]]
+
+> [!proposition]+ bilinéarité et symétrique
+> $\operatorname{cov}$ est une [[forme bilinéaire symétrique]]
+> - $\operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{cov}(Y, X)$
+> - $\operatorname{cov}(\lambda X + X', Y) = \lambda \operatorname{cov}(X, Y) + \operatorname{cov}(X', Y)$
+