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classe d'une fonction.md

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 alias: "classe"
+up: "[[dérivées successives]]"
+tags: "#s/maths/analyse"
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-up::[[dérivées successives]]
-#s/maths/analyse 
 
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-voir [[dérivées successives]].
-
-Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
-Soit $n\in\mathbb N$, $f$ est de classe $C^n$ ssi :
- - $f$ est [[fonction dérivable|dérivable]] $n$ fois sur $I$
- - $f^{(n)}$ est [[fonction continue|continue]] sur $I$.
-
-On dit que $f$ est de classe $C^\infty$ ssi :
- - $\forall n\in\mathbb n, f^{(n)}$ existe sur $I$ (soit : $f$ est de classe $C^n$ pour tout $n$)
- - $\displaystyle C^\infty = \bigcap_{n>0}C^n$
+> [!definition] Définition
+> Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
+> Soit $n\in\mathbb N$, $f$ est de classe $C^n$ ssi :
+>  - $f$ est [[fonction dérivable|dérivable]] $n$ fois sur $I$
+>  - $f^{(n)}$ est [[application continue|continue]] sur $I$.
+> 
+> On dit que $f$ est de classe $C^\infty$ ssi :
+>  - $\forall n\in\mathbb n, f^{(n)}$ existe sur $I$ (soit : $f$ est de classe $C^n$ pour tout $n$)
+>  - $\displaystyle C^\infty = \bigcap_{n>0}C^n$
+^definition
 
+> [!definition] Définition - pour les différentielles
+> On dit qu'une fonction $f : \Omega \subset E \to F$ est de classe $\mathscr{C}^{1}$ si elle est différentiable en tout point $x \in \Omega$ et si l'application $x \mapsto \mathrm{d}f(x)$ est [[application continue|continue]] de $\Omega$ dans $\mathcal{L}(E, F)$ l'[[espace vectoriel des applications linéaires]] 
+> 
+> ---
+> On dit qu'un fonction $f : \Omega \subset E\to F$ est de classe $\mathscr{C}^{2}$ si $\mathrm{d}f$ est de classe $\mathscr{C}^{1}$, c'est-à-dire si :
+> $\begin{align} \Omega \subset E &\to \mathscr{L}(E, \mathscr{L}(E, F)) \\ x &\mapsto \mathrm{d}(\mathrm{d}f)(x) \end{align}$
+> est continue
+> Une fonction deux fois différentiable est donc de classe $\mathscr{C}^{2}$ si $\mathrm{d}^{2}f$ est continue de $\Omega \to \mathscr{L}(E^{2}, F)$.
+^definition-differentielles
 
 # Notation
 On note: