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caractéristique d'un anneau.md

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+aliases: 
+up:
+  - "[[anneau]]"
+tags:
+  - s/maths/algèbre
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+> [!definition] Définition
+> Soit $A$ un anneau
+> La **caractéristique de $A$**, notée $\mathrm{Car}(A)$ est le plus petit entier $n \geq 1$ tel que dans $A$, $n 1_{A} = 0_{A}$
+> S'il n'y en a pas, alors $\mathrm{Car}(A) = 0$
+^definition
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+# Propriétés
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+> [!proposition]+ Cas particulier : caractéristique égale à 1
+> Soit $A$ un anneau
+> $A /A = \{ \overline{0} \}$
+> et alors $\operatorname{Car}(A /A) = 1$
+>  - i C'est le seul ensemble de caractéristique $1$
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > $B = \{ 0 \}$ est bien un anneau :
+> > $0 + 0 = 0$
+> > $0 \cdot 0 = 0$
+> > on voit que $0 = 1$ dans cet anneau
+> > 
+> > Et on a bien $1 \cdot 0 = 0$
+
+> [!proposition]+ Caractéristiques des corps
+> Soit $A$ [[anneau intègre]] (ou un [[corps]]) de caractéristique $p$
+> Alors $p$ est [[nombre premier|premier]]
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > supposons $p = n \cdot m$ avec $n, m > 0$
+> > Alors $0_{A} = p 1_{A} = (n 1_{A})(m 1_{A})$
+> > or, $A$ est [[anneau intègre|intègre]], donc  :
+> > $\begin{cases} n 1_{A} = 0_{A} \\ \text{ou} \\ m 1_{A} = 0_{A} \end{cases} \implies \begin{cases} m \in \ker f = p \mathbb{Z} \\ \text{ou} \\ n \in p\mathbb{Z} \end{cases} \implies \begin{cases} m = p\\ \text{ou} \\ n = p \end{cases}$
+> > D'où suit que $p$ n'a aucun facteur non trivial, et donc que $p$ est premier ou vaut $1$.
+> > Mais pas $1$, car si $p = 1$, alors $p 1_{A} = 0_{A} \implies 1_{A} = 0_{A}$
+> >
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+# Exemples
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