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application lipschitzienne.md

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+up:
+  - "[[application]]"
+tags:
+  - "#s/maths/analyse"
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+> [!definition] [[application lipschitzienne]]
+> Soit $f : (X, d) \to (Y, \delta)$ une [[application]]
+> $f$ est dite **libschitzienne** si il existe $k \geq 0$ tel que :
+> $\forall p, q \in X,\quad \delta(f(p), f(q)) \leq k \cdot d(p, q)$
+^definition
+
+> [!definition] Définition sur $\mathbb{R}$
+> Soit $I \subset \mathbb{R}$ in [[intervalle]]
+> Soit $f : I \mapsto \mathbb{R}$
+> On dit que $f$ est **lipschitzienne** de *rapport* $k>0$ ssi
+> pour tout $(x, y) \in I^{2}$ :
+> $$|f(x)-f(y)| \leq k|x -y|$$
+> 
+^definition-sur-R
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+# Propriétés
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+- Une fonction lipschitzienne de *rapport* $k < 1$ est une [[fonction contractante]]
+- Toutes les fonctions de [[classe d'une fonction|classe]] $C^{1}$ sont globalement lipschitzienne
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