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anneau.md

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-up::[[structure algébrique]]
-#s/maths/algèbre  
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+up:
+  - "[[structure algébrique]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
+aliases:
+  - anneaux
+---
 
 > [!definition] 
-> Un ensemble $A$ muni de deux lois $+$ et $\times$ est un _anneau_ ssi :
+> Soit un ensemble $A$ et deux lois $+$ et $\times$
+> $(A, +, \times)$ est un **anneau** ssi :
 >  - $(A, +)$ est un [[groupe abélien]]
 >      - $+$ est [[associativité|associative]], [[commutativité|commutative]]
->      - il y a un [[élément neutre]] pour $+$
+>      - il existe un [[élément neutre]] $0_{A}$ pour $+$
 >      - tous les éléments sont [[éléments inversibles|symétrisables]] par $+$
 >  - $(A, \times)$ est un [[monoïde]]
 >      - $\times$ est [[associativité|associative]]
->      - il y a un [[élément neutre]] pour $\times$
+>      - il y a un [[élément neutre]] $1_{A}$ pour $\times$
 >      - $\forall (x; a; b) \in A, \quad x \times (a + b) = (x \times a) + (x \times b)$
->  - $\times$ est [[distributivité|distributive]] sur $+$ (à droite et à gauche)
+>  - $\times$ est [[distributivité|distributive]] par rapport à $+$ (à droite et à gauche)
 ^definition
 
+```breadcrumbs
+title: "Sous-notes"
+type: tree
+collapse: false
+show-attributes: [field]
+field-groups: [downs]
+depth: [0, 0]
+```
+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ $0$ est un élément absorbant
+> Soit $(A, +, \times)$ un anneau
+> Soit $0_{A}$ l'élement neutre pour $+$
+> $0_{A}$ est **absorbant**, c'est-à-dire que :
+> $\forall a \in A,\quad a0_{A} = 0_{A}$
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > $a0_{A} = a(0_{A} + 0_{A}) = a0_{A} + a 0_{A}$
+> > d'où suite que $a 0_{A} = 0_{A}$
+
+# Exemples
+