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anneau quotient.md

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+aliases: 
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+  - "[[anneau]]"
+  - "[[groupe quotient]]"
+tags:
+  - s/maths/algèbre
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+
+> [!definition] Définition
+> Soit $(A, +, \cdot)$ un [[anneau]]
+> On définit $A / I := \{ \overline{x} \mid x \in A \}$
+> On définit sur $A / I$ les lois $+$ et $\cdot$ comme suit :
+> $\overline{x} + \overline{ y} = \overline{x+y}$ et $\overline{x} \cdot \overline{y} = \overline{x\cdot y}$
+> Si ces deux lois sont bien définies (il faut et suffit que $I$ soit un [[idéaux d'un anneau|idéal]]), alors :
+> $(A / I, +, \cdot)$ est un [[anneau]] appelé **anneau quotient**
+^definition
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+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ Les diviseurs sont les idéaux
+> La loi $\cdot$ est bien définie (par $\overline{x}\cdot \overline{y} = \overline{x\cdot y}$) sur $A / I$ si et seulement si $I$ est un [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $A$.
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > - Supposons que $I$ est absorbant (i.e. $I$ est [[idéaux d'un anneau|idéal]])
+> > Soient $x, x' \in A$ tels que $\overline{x} = \overline{x'} \implies \exists i \in I,\quad x' = x+i$
+> > Soient $y, y' \in B$ tels que $\overline{y} = \overline{y'} \implies \exists j \in I,\quad y' = y+j$
+> > alors :
+> > $x'y' = (x+i)(y+j)=xy+\underbrace{\overbrace{iy}^{\in I}+\overbrace{jx}^{\in I}+\overbrace{ij}^{\in I}}_{\in I}$ car $I$ est absorbant
+> > donc $\overline{x'y'} = \overline{xy}$ d'où suit que $\cdot$ est bien définie.
+> > Ainsi, tout idéal peut être diviseur d'un quotient d'anneau
+> > 
+> > - Réciproquement, on suppose que $\cdot$ est bien définie
+> > Soient $i \in I$ et $a \in A$
+> > alors $\overline{ia} = \overline{0a} = \overline{0}$ puisque $\overline{0} = \overline{ i}$
+> > donc : $ia \in \overline{0} = I$
+> > D'où suit que $I$ est absorbant.
+> > Ainsi, tout quotient d'anneau à pour diviseur un idéal
+> > 
+> > De là suit que les diviseurs des quotients d'anneaux sont exactements les idéaux de l'anneau quotienté.
+
+> [!proposition]+ 
+> Soit $(A, +, \cdot)$ un anneau
+> Soit $I$ un [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $A$, et $(A/I, +, \cdot)$ l'anneau quotient
+> Soit $\begin{align} \pi : A &\to A /I \\ x &\mapsto \overline{x} \end{align}$ un [[morphisme]] [[surjection|surjectif]]
+> alors :
+> $\pi$ établit une [[bijection]] entre les [[idéaux d'un anneau|idéaux]] de $A$ contenant $I$ et les [[idéaux d'un anneau|idéaux]] de $A /I$
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > On note :
+> > $\Omega = \{ J \text{ idéal de } A \mid I \subset J \}$
+> > $\overline{\Omega} = \{ J \text{ idéal de } A /I \}$
+> > 
+> > $\begin{align} \pi : \Omega &\to \overline{\Omega} \\ J &\mapsto \pi(J) \in \overline{\Omega} \text{ car } \pi \text{ est un morphisme subjectif} \end{align}$
+> > On veut montrer que c'est une bijection.
+> > 
+> > - Soit $\overline{J}$ un idéal de $A /I$
+> > $J := \pi ^{-1}(\overline{J})$ est un idéal de $A$ (car $\pi$ est un morphisme)
+> > $\overline{O} \in J$ donc $I \subset \pi ^{-1}(\overline{J})$
+> > et donc $J \in \Omega$ et est tel que $\pi(J) = \overline{J}$
+> > 
+> > - Soit $J$ un idéal de $A$ qui contient $I$
+> > Posons $\overline{J} = \pi(J)$
+> > Montrons qu'alors $J = \pi ^{-1}(\overline{J})$ (ce qui implique l'injectivité, car si $\pi(\tilde{J}) = \pi(J)$, alors $J = \tilde{J} = \pi ^{-1}(\overline{J})$)
+> > Puisque $\pi(J) = J$ on a $J \subset \pi ^{-1}(\overline{J})$
+> > Montrons que $\pi ^{-1}(\overline{J}) \subset J$
+> > Soit $x \in \pi ^{-1}(\overline{J})$ c'est-à-dire $\pi(x) \in \overline{J} = \pi(J)$
+> > $\implies \exists y \in J,\quad \pi(x) = \pi(y)$
+> > $\implies \pi(x-y) = \overline{0}$
+> > $\implies x - y \in \ker \pi = I$
+> > $\implies \exists i ,\quad x = \underbracket{y}_{\in J} + \underbracket{i}_{\in I \subset J} \in J$
+> > on a montré que $\pi ^{-1}(\overline{J}) \subset J$
+> > on a donc $J = \pi ^{-1}(\overline{J})$
+> > 
+> > 
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+# Exemples
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