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anneau intègre.md

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+aliases:
+  - intègre
+up:
+  - "[[anneau]]"
+tags:
+  - s/maths/algèbre
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+> [!definition] Définition
+> Soit $(A, +, \times)$ un [[anneau]]
+> On dit que cet anneau est **intègre** si :
+> $\forall a, b \in A,\quad a b = 0 \implies a = 0 \vee b = 0$
+^definition
+
+> [!idea] intuition
+> Un anneau est **intègre** si il respecte :
+> "un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul"
+
+# Propriétés
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+> [!proposition]+ 
+> Soient $a, b, \in A$ tels que $ab = 0$
+> si $a \neq 0$ alors $b = 0$
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > si $ab = 0$ et $a \neq 0$ alors :
+> > $a^{-1} a b = 0$ et donc $b = 0$
+
+> [!proposition]+ 
+> Soient $a, b, c \in A$
+> On suppose $c \neq 0$, alors :
+> $ac = bc \implies a = b$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > $ac = bc \implies (a-b)c = 0 \implies a = b$ puisque $c \neq 0$
+
+# Exemples
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