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Oscar Plaisant
2025-03-16 18:05:45 +01:00
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28
anneau commutatif.md
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@@ -18,5 +18,33 @@ Un _anneau commutatif_ est un [[anneau]] pour lequel la loi $\times$ est [[commu
> - $\forall (x; a; b) \in A, \quad x \times (a + b) = (x \times a) + (x \times b)$
> [!definition] Définition - à partir d'un anneau
> Soit $(A, +, \times)$ un [[anneau]]
> On dit que $(A, +, \times)$ est un **anneau commutatif** si la loi $\times$ est [[commutativité|commutative]]
^definition
# Propriétés
> [!proposition]+
> Soit $A$ un anneau commutatif
> Soit $I \neq A$ un [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $A$
> $I$ [[idéal premier d'un anneau commutatif|premier]] $\iff$ $A /I$ [[anneau intègre|intègre]]
>
> > [!info] En particulier
> > $\begin{align} \{ 0 \} \text{ est premier} &\iff A /\{ 0 \} \text{ est intègre} \\&\iff A \text{ est intègre}\end{align}$
> [!proposition]+
> Soit $A$ un anneau commutatif
> Soit $I \neq A$ un [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $A$
> $I$ [[idéal maximal d'un anneau commutatif|maximal]] $\iff$ $A /I$ est un [[corps]]
> [!proposition]+
> Soit $A$ un anneau commutatif
> Soit $I \neq A$ un [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $A$
> $I$ [[idéal maximal d'un anneau commutatif|maximal]] $\implies$ $I$ [[nombre premier|premier]]
# Exemples