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.trash/multiplicité d'une racine.md

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+alias: [ "multiplicité", "ordre d'une racine", "ordre" ]
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+up::[[racines d'un polynôme]]
+title:: "pour une racine $r$", "$n$ tel que $P^{(n-1)}(r) = 0$ et $P^{(n)}(r) \neq 0$"
+#s/maths/analyse
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+> [!definition] ordre d'une racine d'un polynôme
+> Soit $P$ un [[polynôme]]
+> Soit $r$ une [[racines d'un polynôme|racine]] de $P$
+> l'**ordre** de $r$ est le plus grand $n$ tel que $r$ est une racine de $P^{(n-1)}$ ([[dérivées successives|dérivée n-ème de P]])
+> C'est aussi le plus petit $n$ tel que $P^{(n)}(r) \neq 0$
+> Sous forme factorisée, c'est la puissance du terme qui s'annule en $r$
+^definition
+
+> [!definition]
+> Soit $P$ un [[polynôme]] de [[polynôme#Degré|degré]] $n$
+> On sait que $P(x) = \prod\limits_{k=0}^{n} (x - a_{k})$   (forme factorisée)
+> Où $a_k$ une suite dont les valeurs sont les [[racines d'un polynôme|racines]] de $P$
+> 
+> Une racine $r$ est de **multiplicité** $m$ si elle apparaît *exactement* $m$ fois dans les coefficients $a_{k}$ (pour $k\in[\![1;n]\!]$)
+> Soit si elle apparaît $m$ fois dans la factorisation de $P$
+
+# Propriétés
+
+## Racine simple
+Une racine est simple ssi sa _multiplicité_ est 1
+
+## Nombre de racines
+**[[théorème de d'Alembert-Gauss]]**
+Si on compte une racine de multiplicité $m$ comme $m$ racines
+Le nombre de racines est toujours **égal** au [[polynôme#Degré|degré]] d'un polynôme
+
+## Dérivation
+Soit $r$ une _racine_ du polynôme $P$
+La racine $r$ est de [[multiplicité d'une racine|multiplicité]] $n$ si et seulement si $r$ est aussi racine de la [[dérivées successives|dérivée n-ème]] de $P$ :
+
+$r \text{ est de multiplicité } n \iff P^{(n)}(r)=0$
+
+On peut utiliser cette propriété pour **trouver la multiplicité d'une racine**