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fonction récursive primitive.md

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 > [!definition] [[fonction récursive primitive]]
 > On définit par [[induction]] l'ensemble des fonctions récursives primitives comme suit :
-> [^1] 
-> 
+>  - i Soit $p \in \mathbb{N}$ on note $\mathscr{F}_{p}$ l'ensemble des applications de $\mathbb{N}^{p} \to \mathbb{N}$ (par convention, $\mathscr{F}_{0}$ ne contient que la suite vide)
+>    
+> > [!info] Fonctions projection
+> > On note $P_{p}^{i}$ (pour $1 \leq i \leq p$) la fonction de $\mathscr{F}_{p}$ telle que pour tout $x_1, \dots, x_{p} \in \mathbb{N}$ on a :
+> > $P_{p}^{i}(x_1, x_2, \dots, x_{p}) = x_{i}$
+>
+> > [!info] Définition par récurrence
+> > Soient $f \in \mathscr{F}_{p}$ et $g \in \mathscr{F}_{p+2}$, il existe une unique fonction de $\mathscr{F}_{p+1}$ qui, pour tout $x_1, \dots, x_{p}, y \in \mathbb{N}$ respecte :
+> >  - $f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, 0) = g(x_1, x_2, \dots, x_{p})$
+> >  - $f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y+1) = h(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y, f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y))$
 ^definition
 
 
 # Propriétés
 
 # Exemples
-
-[^1]: Soit $p \in \mathbb{N}$ on note $\mathscr{F}_{p}$ l'ensemble des applications de $\mathbb{N}^{p} \to \mathbb{N}$ (par convention, $\mathscr{F}_{0}$ ne contient que la suite vide)