diff --git a/Mathématiques pour non spécialistes – suite look-and-say.md b/Mathématiques pour non spécialistes – suite look-and-say.md
index 50ff7592..55bfeea6 100644
--- a/Mathématiques pour non spécialistes – suite look-and-say.md	
+++ b/Mathématiques pour non spécialistes – suite look-and-say.md	
@@ -73,4 +73,28 @@ n'apparaîssent plus après 1 jour.
 
 Après 2 jours, on ne peut plus avoir :
  + apparition d'un $\geq 4$ <span class="fragment">car $x^4$ impossible (thm. J1)</span>
- + $3X3$ <span class="fragment"> $=\begin{cases},3X,3y \longleftarrow X^3y^3 {\,\color{red}\times } \text{ (thm. J1)} \\ 3,X3, \text{ impossible (thm. J1)}\end{cases}$ </span>
\ No newline at end of file
+ + $3X3$ <span class="fragment"> $=\begin{cases},3X,3y \longleftarrow X^3y^3 {\,\color{red}\Large \times } \text{ (thm. J1)} \\ 3,X3, {\,\color{red}\Large \times } \text{ (thm. J1)}\end{cases}$ </span>
+
+--
+## Théorème du début
+
+Le début arrivera toujours sur l'un de ces cycles :
+ + $\overparen{[ \;\; ]} \longrightarrow [\;\;] \longrightarrow [\;\;] \longrightarrow \cdots$
+ + $\overparen{[2^{2}]} \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow$
+ + $\overparen{[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
+ + $\overparen{[2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow [2^{2}1^{3} \longrightarrow [2^{2}3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
+
+--
+### Théorème du début — Exemple
+
+ + $[37]$
+ + $[1317]$
+ + $[11131117]$
+ + $[{\color{#080}311}331 = [3^{1}1^{2} = \color{#080}[3^{1}X^{\neq 3}$ pour $X=3$
+ + $[{\color{#09b}13}2123 = [1^{1}3^{1} = \color{#09b}[1^{1}X^{1}$ 
+ + $[{\color{#d80}111}312 = \color{#d80}[1^{3}$
+ + $[{\color{#080}311}311 = [3^{1}1^{2} = \color{#080}[3^{1}X^{\neq 3}$
+ + $[{\color{#09b}13}21 = [1^{1}3^{1} = \color{#09b}[1^{1}X^{1}$
+ + $[{\color{#d80}111}312 = \color{#d80}[1^{3}$
+ + $\vdots$
+
diff --git a/désintégration audioactive.md b/désintégration audioactive.md
index 3e5c2982..6dd1f828 100644
--- a/désintégration audioactive.md	
+++ b/désintégration audioactive.md	
@@ -112,7 +112,7 @@ header-auto-numbering:
 > Le début de ses descendants finira toujours par se constituer en l'un des cycles suivants :
 >  - $\overparen{[ \; ]} \longrightarrow [\;] \longrightarrow [\;] \longrightarrow \cdots$
 >  - $\overparen{[2^{2}]} \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow$
->  - $\overparen{[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq_3}} \longrightarrow [1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
+>  - $\overparen{[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
 >  - $\overparen{[2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow [2^{2}1^{3} \longrightarrow [2^{2}3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
 > 
 > > [!démonstration] Démonstration
@@ -140,16 +140,20 @@ header-auto-numbering:
 > >          - c $[1^{2}(X\geq 4)$ impossible par le [[désintégration audioactive#^thm-jour-2|théorème du jour 2]]
 > >      - p $[1^{3}X \longleftarrow [1^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{1}$
 > >  - Si $R$ commence par $2$
-> >      - right $[2^{1}X$ considérons les différentes possibilités :
+> >      - down $[2^{1}X$ considérons les différentes possibilités :
 > >          - p $[2^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{2} \longleftarrow [X^{X}$
 > >          - p $[2^{1}X^{2} \longleftarrow [2^{1}XY \longleftarrow [X^{2}Y^{X}$
 > >          - c $[2^{1}X^{\geq 3} = [2X,XX, \dots$ impossible
 > >      - c $[2^{\geq 2}$ est impossible par supposition
 > >  - Si $R$ commence par $3$
 > >      - p $[3^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{3}$
-> >      - right $[3^{1}X^{2} \longleftarrow [X^{3}$ pas toujours possible :
+> >      - down $[3^{1}(1 \text{ ou } 2)^{2}$ puisque :
 > >          - p $[3^{1}1^{2}X \longleftarrow [1^{3}X^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{1}$
-> >          - $[]$
+> >          - p $[3^{1}2^{2}X \longleftarrow [2^{3}X^{2}$ possible si $X \neq 2$
+> >          - c $[3^{1}3^{3} = [3^{4}$
+> >          - c $[3^{1}(n \geq 4)^{2} \longleftarrow [n^{3}X^{n\geq 4}$ impossible
+> >      - $[3^{1}X^{3} = [3X,XX$ impossible ([[désintégration audioactive#^thm-jour-1|théorème du jour 1]])
+> >      - $[3^{2}X^{1}$
 > >    
 > > ![[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=186&rect=12,345,377,408|p.186]]