MacBook-Pro-de-Oscar.local 2025-9-9:16:51:4

formule logique.md

@@ -15,10 +15,10 @@ up:
 >  - si $v \in V$ alors $[v] \in \mathcal{F}_{v}$
 >  - si $f \in F_{v}$ alors $\neg f \in \mathcal{F}_{v}$
 >  - si $f_1, f_2 \in F_{v}$ alors :
->      - $(f_1 \vee f_2) \in \mathcal{F}_{v}$ ou, autrement : $[\vee f_1 f_2] \in \mathcal{F}_{v}$
->      - $(f_1 \wedge f_2) \in \mathcal{F}_{v}$ ou, autrement : $[\wedge f_1 f_2] \in \mathcal{F}_{v}$
->      - $(f_1 \implies f_2) \in \mathcal{F}_{v}$ ou, autrement : $[\implies f_1 f_2] \in \mathcal{F}_{v}$
->      - $(f_1 \iff f_2) \in \mathcal{F}_v$ ou, autrement : $[\iff f_1 f_2] \in \mathcal{F}_{v}$
+>      - $[\vee f_1 f_2] \in \mathcal{F}_{v}$ sous entendu $(f_1 \vee f_2)$
+>      - $[\wedge f_1 f_2] \in \mathcal{F}_{v}$ sous entendu $(f_1 \wedge f_2)$
+>      - $[\implies f_1 f_2] \in \mathcal{F}_{v}$ sous entendu $(f_1 \implies f_2)$
+>      - $[\iff f_1 f_2] \in \mathcal{F}_{v}$ sous entendu $(f_1 \iff f_2)$
 
 # Propriétés
 
@@ -39,5 +39,19 @@ up:
 >  - dans 5. 6. 7. et 8. $f_1$ et $f_2$ sont uniques et déterminés
 
 > [!proposition]+ 
+> On définit une fonction $p$ qui à un symbole associe un poids :
+> $p(0) = p(1) = p(v) = -1$ pour tout $v \in V$
+> $p(\neg) = 0$
+> $p(\wedge) = p(\vee) = p(\implies) = p(\iff) = 1$
+> $p(\emptyset) = 0$
+> Puis par réccurence, avec $m = [a_1, \dots ,a_{n}]$ avec $a_{i} \in V \cup L$
+> $p(m) = p(a_1) + \cdots + p(a_{n})$
 > 
+> A a alors le théorème suivant :
+> Un mot $f$ est une formule  si et seulement si on a :
+> 1. $p(f) = -1$
+> 2. pour tout préfixe $f'$ de $f$, $f' \neq f$ on a $p(f') \geq 0$
+> 
+> > [!corollaire] 
+> > Un préfixe $f'$ d'une formule $f$ (tel que $f' \neq f$) n'est pas uen formule.