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désintégration audioactive.md

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 # Notations
  - On assimilera toujours les éléments d'un terme à des chiffres
- - On pourra noter $,12,23,11,$ : les virgules précisent le parsing
+ - On pourra noter $,12,23,11,$ : les virgules précisent le "parsing", c'est-à-dire la bonne manière de lire la chaîne
+     - = $\dots 233 \dots \longrightarrow \dots ,12,23, \dots$ mais $122111 \centernot{\longrightarrow} \dots ,12,23,1\dots$  même si $122111 \longrightarrow \dots 12231 \dots$
  - $L \longrightarrow L'$ signifie que $L$ est dérivée en $L'$ par désintégration audioactive
      - On note aussi $L \longrightarrow L' \longrightarrow L'' \longrightarrow \cdots$ pour $L \longrightarrow L'$ et $L' \longrightarrow L''$ et $L'' \longrightarrow \cdots$
  - $L_{n}$ est le $n^{\text{ème}}$ *descendant* de $L$ (le résultat de $n$ dérivations de $L$)
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  - $X$ désigne un chiffre arbitraire (non nul)
      - = $X^{0}a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$ correspond à $[a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$
      - = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{0}$ correspond à $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}]$
+     - = 
  - $\neq n$ désigne n'importe quel chiffre (éventuellement 0) autre que $n$
      - = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{\neq 0}$ signifie $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$ suivi d'au moins un autre chiffre
      - = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} (\neq 2)^{\neq 0}$ signifie que ce dernier chiffre n'est pas un $2$
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 > [!definition] Atome
 > Les **atomes** (ou *éléments*) sont les chaînes qui ne possèdent pas de découpage non trivial.
-> - source:: [[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=181&selection=221,11,241,7&color=note|(John Horton Conway, 1987)]]
 ^def-atome
 
  - i toute chaîne est **composée** d'un certain nombre d'éléments. On dit que cette chaîne **comprends** lesdits éléments.
-     - source:: [[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=181&selection=243,5,260,9&color=note|(John Horton Conway, 1987)]]
 
 
 ## Théorèmes
@@ -203,7 +203,7 @@ header-auto-numbering:
 > >  - $[n^{1}$
 > > 
 > > De là, on observe que toutes les possibilités convergent vers l'un des cycles donnés :
-> > ![[demo_théorème_du_début.excalidraw]]
+> > ![[demo_théorème_du_début.excalidraw|700]]
 > > 
 > > Par ailleurs, si $R$ commence par $[22$ :
 > >  - si $R = [22]$ la preuve est trivialle
@@ -235,7 +235,7 @@ header-auto-numbering:
 > >  - $[n^{1}$
 > > 
 > > Cela nous permet d'atteindre le schéma original de Conway :
-> > ![[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=186&rect=12,345,377,408|schéma original de Conway p.186]]
+> > ![[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=186&rect=12,345,377,408&width=800|schéma original de Conway p.186]]
 ^theoreme-debut
 
 > [!proposition]+ théorème du découpage
@@ -254,7 +254,15 @@ header-auto-numbering:
 
 > [!proposition]+ Théorème de la fin
 > La fin d'une chaîne finit toujours par atteindre l'un de ces cycles :
+> ![[attachments/désintégration audioactive théorème de la fin cycles.excalidraw|950]]
 > 
+> > [!démonstration]+ Démonstration
+> >  - Une chaîne se terminant par $1$ apparaîtra nécessairement dans cette chaîne de dérivations (en effet, tous les cas de chaîne finissant par $1$ y sont présents) :
+> >    $1^{\geq 3}] \longrightarrow \underbrace{(\neq 2)^{X}1^{1}]}_{\substack{\text{plus général}\\\text{que }(\geq 3)^{X}1^{1}]}} \longrightarrow (\neq 2)^{X}1^{2}] \longrightarrow (\neq 2)^{X}2^{1}1^{1}] \longrightarrow \underbrace{2^{X\neq 2}1^{2}]}_{\substack{\text{fin de}\\(\neq 2)^{X}1^{1}2^{1}1^{2}]}} \longrightarrow 2^{2}1^{1}] \longrightarrow 2^{2}1^{2}] \longrightarrow 2^{3}1^{1}]$
+> >    Ce qui montre que toute chaîne se terminant par $1$ finit par atteindre une chaîne se terminant par $2^{3}1^{1}]$.
+> >    De là, en dérivant cette fin plusieurs fois, on obtient successivement :
+> >      - 
+> >  -