MacBookPro.lan 2026-5-1:19:34:8

désintégration audioactive.md

@@ -32,16 +32,17 @@ Son principe est assez simple : étant donné un nombre, on produit le suivant e
  - $11 \longrightarrow \text{deux }1$ 
  - ${\color{#FCD600}2\color{#368CF3}1} \longrightarrow {\color{#FCD600}\text{un }2},\quad {\color{#368CF3}\text{un }1}$
  - ${\color{#FCD600}1\color{#368CF3}2\color{#1B9419}11} \longrightarrow {\color{#FCD600}\text{un }1},\quad {\color{#368CF3}\text{un }2},\quad {\color{#1B9419}\text{deux }2}$
- - $\underline{111\!}\,221 \longrightarrow \underline{\text{trois }1},\quad \text{deux }2,\quad \text{un} 1$
+ - $\underline{111\!}\,221 \longrightarrow \underline{\text{trois }1},\quad \text{deux }2,\quad \text{un } 1$
  - $312211$
  - $13112221$
  - $1113213211$
 
-La règle de définition est :
- $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
+La règle définissant la suite peut alors être notée : $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
 
 # Notations
- - On assimilera toujours les éléments d'un terme à des chiffres
+ - Comme les éléments de la suite sont plutôt des suites finies de chiffres que des nombres uniques, on appellera "chaine" un terme de la suite.
+ - On assimilera toujours les éléments d'une chaine à des chiffres strictement positifs.
+ - On se permettra de confondre "chaine" et "sous-chaine" (sous-ensemble de chiffres consécutifs d'une chaine) lorsque l'on traitera de propriétés locales.
  - On pourra noter $,12,23,11,$ : les virgules précisent le "parsing", c'est-à-dire la bonne manière de lire la chaîne
      - = $\dots 233 \dots \longrightarrow \dots ,12,23, \dots$ mais $122111 \centernot{\longrightarrow} \dots ,12,23,1\dots$  même si $122111 \longrightarrow \dots 12231 \dots$
  - $L \longrightarrow L'$ signifie que $L$ est dérivée en $L'$ par désintégration audioactive
@@ -49,8 +50,8 @@ La règle de définition est :
  - $L_{n}$ est le $n^{\text{ème}}$ *descendant* de $L$ (le résultat de $n$ dérivations de $L$)
      - évidemment : $L_0 = L$ et $L_{n} \to L_{n+1}$
      - i on peut noter $L \xrightarrow{n} L_{n}$
- - On utilise $[$ et $]$ pour dénoter la "véritable fin" des morceaux de termes (des sous-suites consécutives d'un terme)
-     - = $[11222$ correspond à $11 222\cdots$
+ - On utilise $[$ et $]$ pour dénoter la "véritable fin" des sous-chaines
+     - = $[11222$ correspond à $11 222\cdots$ autrement dit, la chaine continue potentiellement à droite, mais pas à gauche
  - On utilise les puissances pour la répétition
      - = $3^{4}2^{1}1^{5} = 333211111$
      - i on prends toujours la plus grande puissance possible (par exemple, $11111$ ne sera jamais noté comme $1^{2}1^{3}$) (cela est important pour les premiers théorèmes)
@@ -147,7 +148,7 @@ La règle de définition est :
 >  - $\overparen{[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
 >  - $\overparen{[2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow [2^{2}1^{3} \longrightarrow [2^{2}3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
 > 
-> > [!démonstration]- Démonstration
+> > [!démonstration]+ Démonstration
 > > Explorons les valeurs possibles de $R$ en supposant que $R$ est âgée de 2 jours ou plus, et ne commence pas par $2^{2}$.
 > > Eliminons à chaque fois les valeurs impossibles (notamment en utilisant les théorèmes [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|du jour 1]] et [[désintégration audioactive#^thm-jour-2|du jour 2]]) :
 > >  - Si $R$ commence par $1$
@@ -232,7 +233,7 @@ La règle de définition est :
 > >  - $[n^{1}$
 > > 
 > > De là, on observe que toutes les possibilités convergent vers l'un des cycles donnés :
-> > ![[demo_théorème_du_début.excalidraw|700]]
+> > ![[demo_théorème_du_début.excalidraw|560]]
 > > 
 > > Par ailleurs, si $R$ commence par $[22$ :
 > >  - si $R = [22]$ la preuve est triviale
@@ -284,7 +285,7 @@ La règle de définition est :
 
 > [!proposition]+ Théorème de la fin
 > La fin d'une chaîne finit toujours par atteindre l'un de ces cycles :
-> ![[ attachments/désintégration audioactive théorème de la fin cycles.excalidraw|950]]
+> ![[attachments/désintégration audioactive théorème de la fin cycles.excalidraw|950]]
 > 
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > >  - Une chaîne se terminant par $1$ apparaîtra nécessairement dans cette suite de dérivations (en effet, tous les cas de chaîne finissant par $1$ y sont présents) :