device-56.home 2026-3-30:4:19:37
This commit is contained in:
oskar
@@ -0,0 +1,312 @@
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center: true
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transition: slide
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theme: white
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title: Mathématiques pour non spécialistes
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subtitle: Désintégration audioactive
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# Définition
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![[désintégration audioactive#^definition]]
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# Exemples
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## Exemple 1
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- $1$
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- $11$
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- $21$
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- $1211$
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- $111221$
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- $312211$
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- $13112221$
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- $1113213211$
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## Exemple 1
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+ $1 \longrightarrow \text{un } 1$
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+ $11 \longrightarrow \text{deux }1$
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+ $21 \longrightarrow \text{un }2,\quad \text{un }1$
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+ $1211 \longrightarrow \text{un }1,\quad \text{un }2,\quad \text{deux }2$
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+ $\underline{111\!}\,221 \longrightarrow \text{trois }1,\quad \text{deux }2,\quad \text{un} 1$
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+ $312211$
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+ $13112221$
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+ $1113213211$
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"désintégration audioactive"
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## Exemple 2
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$22 \longrightarrow \text{deux } 2$ <!-- element class="fragment" -->
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$22$ <!-- element class="fragment" -->
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$22$ <!-- element class="fragment" -->
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$\vdots$ <!-- element class="fragment" -->
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## Exemple 3
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$49$
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$1419$
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$11141119$
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$31143119$
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$132114132119$
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$11131221141113122119$
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note: n'augmente pas toujours sa longueur, mais augmente tendanciellement
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## Exemple 3
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$49$
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$14\cdot19$
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$1114\cdot1119$
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$3114\cdot3119$
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$132114\cdot132119$
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$1113122114\cdot1113122119$
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# Notations
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+ nombres $\hookrightarrow$ chiffres
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+ $12 \longrightarrow 1112$
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+ $,11,12,$
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+ $[11$ et $12]$
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+ $1^{3}2^{1}$
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+ $1^{\geq 2}(\neq 1)^{3}$
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+ $[1^{3}X^{1 \text{ ou } 2}$
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# Vocabulaire
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# Propriétés
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## Première propriété évidente
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Pour une étape : $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
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Il est évident que : $a\neq b,\quad b\neq c,\quad c\neq d,\dots$
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## Théorème du jour 1
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Les morceaux de type :
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+ $,ax,bx,$ <span class="fragment"> devrait être dérivé en $(a+b)x$ </span>
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+ $x^{\geq 4}$ <span class="fragment"> $=\begin{cases}x,xx,x\cdots \\ ,xx,xx, \cdots\end{cases}$ impossible </span>
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+ $x^{3}y^{3}$ <span class="fragment"> $=\begin{cases},xx,xy,yy, \text{ un cas de } ,ay,by, \\ x,xx,xy,y \text{ un cas de } ,ax,bx,\end{cases}$ </span>
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n'apparaîssent plus après 1 jour.
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## Théorème du jour 2
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Après 2 jours, on ne peut plus avoir :
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+ apparition d'un $\geq 4$ <span class="fragment">car $x^4$ impossible (thm. J1)</span>
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+ $3X3$ <span class="fragment"> $=\begin{cases},3X,3y \longleftarrow X^3y^3 {\,\color{red}\Large \times } \text{ (thm. J1)} \\ 3,X3, {\,\color{red}\Large \times } \text{ (thm. J1)}\end{cases}$ </span>
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## Théorème du début
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Le début arrivera toujours sur l'un de ces cycles :
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+ $\overparen{[ \;\; ]} \longrightarrow [\;\;] \longrightarrow [\;\;] \longrightarrow \cdots$
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+ $\overparen{[2^{2}]} \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow$
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+ $\overparen{[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
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||||
+ $\overparen{[2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow [2^{2}1^{3} \longrightarrow [2^{2}3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
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### Théorème du début — Exemple
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+ $[37]$
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+ $[1317]$
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+ $[11131117]$
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+ $[{\color{#080}311}331 = [3^{1}1^{2} = \color{#080}[3^{1}X^{\neq 3}$ pour $X=3$
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+ $[{\color{#09b}13}2123 = [1^{1}3^{1} = \color{#09b}[1^{1}X^{1}$
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||||
+ $[{\color{#d80}111}312 = \color{#d80}[1^{3}$
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||||
+ $[{\color{#080}311}311 = [3^{1}1^{2} = \color{#080}[3^{1}X^{\neq 3}$
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||||
+ $[{\color{#09b}13}21 = [1^{1}3^{1} = \color{#09b}[1^{1}X^{1}$
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||||
+ $[{\color{#d80}111}312 = \color{#d80}[1^{3}$
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+ $\vdots$
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### Théorème du début — Démonstration
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1) Montrer que toutes les chaînes des jours $\geq 2$ ont une certaine forme (lister les cas)
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+ équivalent pour $R$ ne commençant pas par $22$ et pour $R = [22\cdot R'$
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2) Vérifier que ces cas arrivent tous à l'un des cycles
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![[attachments/Pasted image 20260330014744.png]]<!-- element class="fragment" -->
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### Théorème du début — Démonstration
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3) Simplifier les cas (en assimiler certains)
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![[attachments/Pasted image 20260330021624.png]] <!-- element class="fragment" -->
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La version de Conway : <!-- element class="fragment" -->
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![[attachments/Capture d’écran 2026-03-29 à 22.50.04.png]] <!-- element class="fragment" -->
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## Théorème du découpage
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> [!definition] Découpage
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> Quand les descendants de $L$ et $R$ n'interfèrent jamais dans $LR$, c'est-à-dire :
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> $\forall n,\quad (LR)_{n} = L_{n}R_{n}$
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>
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> On dit que $LR$ se **découpe** en $L \cdot R$
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## Théorème du découpage
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> [!definition] Découpage trivial
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> $[\;\;]\cdot R$ ou $L \cdot [\;\;]$
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> [!definition] Atome
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> - **atome** : morceau sans découpage non trivial
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## Théorème du découpage
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Une chaîne de $\geq 2$ jour $LR$ se découpe en $L \cdot R$ seulement si l'un et vide ou dans un de ces cas :
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| L | R |
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| ------------- | --------------------------------------------------------------------------------------------- |
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| $n]$ | $[m$ |
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| $2]$<br> | $[1^1X^1$ ou $[1^{3}$ ou $[3^{1}X^{\neq 3}$ ou $[n^{1}$ |
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||||
| $\neq 2]$<br> | $[2^{2} 1^{1}X^{1}$ ou $[2^{2}1^{3}$ ou $[2^{2}3^{1}X\neq 3$ ou $[2^{2}n^{(0 \text{ ou } 1)}$ |
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avec $n \geq 4$ et $m \leq 3$
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## Théorème du découpage
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Suit directement :
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- du théorème du début pour R
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- du fait que la fin de $L$ est constante
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## Théorème de la fin
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![[attachments/Capture d’écran 2026-03-30 à 02.46.57.png]]
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## Théorème de la fin
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Démonstration par disjonction des cas entre :
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+ les chaînes qui terminent par 1
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+ $\tiny 1^{\geq 3}] \longrightarrow (\neq 2)^{X}1^{1}] \longrightarrow (\neq 2)^{X}1^{2}] \longrightarrow 2^{X \neq 2}1^{1}] \longrightarrow 2^{X \neq 2}1^{2}] \longrightarrow 2^{2}1^{1}] \longrightarrow 2^{2}1^{2}] \longrightarrow 2^{3}1^{1}]$
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||||
+ les chaînes qui terminent par $n > 1$
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+ ![[attachments/Capture d’écran 2026-03-30 à 02.50.33.png]]
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## Théorème de la fin
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![[attachments/Capture d’écran 2026-03-30 à 02.52.37.png]]
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## Théorème chimique
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### Les 92 éléments <!-- element class="fragment" -->
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<split even gap="3" class="fragment">
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![[attachments/Capture d’écran 2026-03-30 à 02.54.50.png|300]]
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||||
![[attachments/Capture d’écran 2026-03-30 à 02.57.24.png|300]]
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</split>
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## Théorème chimique
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1) Les descendants d'un élément sont composés d'éléments
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2) Tous ces éléments engendrent (après assez de jours) une chaîne contenant les 92 éléments simultanément
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3) Les descendants te toute chaîne autre que $[\;\;]$ et $[22]$ engendrent (après assez de jours) une chaîne contenant les 92 éléments simultanément
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## Les éléments transuraniques
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Pour tout $n \geq 4$
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+ *Plutonium* (Pu) : $1221132221222112112322211n$
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+ (Li) pour $n=2$, (W) pour $n=3$
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+ *Neptunium* (Np) : $1311222113321132211221121332211n$
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+ (He) pour $n=2$, (Ta) pour $n=3$
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## Théorème arithmétique
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> [!definition] Chaîne commune
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> On dit qu'une chaîne est **commune** si elle est un composé d'atomes communs.
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## Théorème arithmétique
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1) Les longueurs de toutes les chaînes **communes** (sauf $[\;\;]$ et $[22]$) augmentent géométriquement avec une raison $\lambda > 1$
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2) Les abondances relatives des éléments dans ces chaînes tendent vers des valeurs fixes $>0$
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## Théorème arithmétique
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### Concept de la preuve
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+ $v_{i} \in \mathbb{N}^{92}$ compte les atomes de numéro $i$ dans une chaîne
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- compter les atomes $\sim{}\!\!$ compter les chiffres (longueur des atomes $\leq 42$)
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+ à chaque dérivation, $v$ est multiplié par $M$
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- $M_{i,j} = \# E_{j} \text{ dans le dérivé de } E_{i}$
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+ Th. chimique $\implies M_{i,j} > 0$ si $i \neq 1$
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+ $v_0M^{n} \sim \lambda^{n} \longrightarrow \lambda = \small\text{ plus grande valeur propre de } M$
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## Théorème arithmétique
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### Constante de conway
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$v_0M^{n} \sim \lambda^{n}$
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$\lambda := \text{ plus grande valeur propre de } M$
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+ $\lambda = 1.30357726903\dots$
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+ polynôme de degré 71
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## Théorème cosmologique
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Toute chaîne **commune** finit par se "désintégrer" en un composé d'éléments (communs et transuraniques) après un nombre borné d'étapes de dérivation.
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$\implies$ toute chaîne finit par augmenter (sa longueur) avec une raison $\lambda$
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# Source
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*Open problems in communication and computation* (Cover, T. M., Gopinath, B), consulté le 2026-03-27
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Reference in New Issue
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