mbp-oskar.lan 2025-5-11:0:41:11

polynôme d'endomorphisme.md

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 > [!proposition]+ Commutativité des polynômes d'endomophismes
 > $(PQ)(f) = P(f) \circ Q(f) = (QP)(f)$
+> - I en particulier : $P(f) = (\mathrm{id} \circ P)(f) = \mathrm{id}(f) \circ P(f) = f(P(f))$
 
 > [!proposition]+ Stabilité du [[noyau d'un morphisme de groupes|noyau]] et de l'image
 > $\ker P(f)$ et $\operatorname{Im} Q(f)$ sont stables par $f$
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > $P(f)(f(x)) = f(P(f)(x))=0$ donc $f(x) = \ker P(f)$
+> > De même, si $x \in \operatorname{Im}(P(f))$ alors il existe $y \in E$ tel que $x = P(f)(y)$, et on a alors $f(x) = f(P(f)(y))$
+
 
 - Si $\lambda$ est [[valeur propre d'une matrice|valeur propre]] de $f$ alors $P(\lambda)$ est valeur propre de $P(f)$