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mbp-oskar.lan 2025-5-11:0:41:11

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oskar 2025-05-11 00:41:12 +02:00
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polynôme d'endomorphisme.md
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@ -29,9 +29,15 @@ tags:
> [!proposition]+ Commutativité des polynômes d'endomophismes > [!proposition]+ Commutativité des polynômes d'endomophismes
> $(PQ)(f) = P(f) \circ Q(f) = (QP)(f)$ > $(PQ)(f) = P(f) \circ Q(f) = (QP)(f)$
> - I en particulier : $P(f) = (\mathrm{id} \circ P)(f) = \mathrm{id}(f) \circ P(f) = f(P(f))$
> [!proposition]+ Stabilité du [[noyau d'un morphisme de groupes|noyau]] et de l'image > [!proposition]+ Stabilité du [[noyau d'un morphisme de groupes|noyau]] et de l'image
> $\ker P(f)$ et $\operatorname{Im} Q(f)$ sont stables par $f$ > $\ker P(f)$ et $\operatorname{Im} Q(f)$ sont stables par $f$
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $P(f)(f(x)) = f(P(f)(x))=0$ donc $f(x) = \ker P(f)$
> > De même, si $x \in \operatorname{Im}(P(f))$ alors il existe $y \in E$ tel que $x = P(f)(y)$, et on a alors $f(x) = f(P(f)(y))$
- Si $\lambda$ est [[valeur propre d'une matrice|valeur propre]] de $f$ alors $P(\lambda)$ est valeur propre de $P(f)$ - Si $\lambda$ est [[valeur propre d'une matrice|valeur propre]] de $f$ alors $P(\lambda)$ est valeur propre de $P(f)$