diff --git a/désintégration audioactive.md b/désintégration audioactive.md index 7d3023bf..9706333a 100644 --- a/désintégration audioactive.md +++ b/désintégration audioactive.md @@ -25,9 +25,17 @@ header-auto-numbering:
-La *désintégration audioactive* (aussi appellée *suite* look-and-say, ou *suite de Conway*) est une suite d'entiers positifs. Elle à notamment été étudiée par John H. Conway, bien qu'elle n'aie pas été décrite d'abord par lui (elle lui à été présentée par un étudiant, comme il l'indique dans une interview publiée en 2024 : [Look-and-Say Numbers (feat John Conway) - Numberphile](https://www.youtube.com/watch?v=ea7lJkEhytA)). +La *désintégration audioactive* (aussi appellée *suite* look-and-say, ou *suite de Conway*) est une suite d'entiers strictement positifs. Elle à notamment été étudiée par John H. Conway, bien qu'elle n'aie pas été décrite d'abord par lui (elle lui à été présentée par un étudiant, comme il l'indique dans une interview publiée en 2024 : [Look-and-Say Numbers (feat John Conway) - Numberphile](https://www.youtube.com/watch?v=ea7lJkEhytA)). -Son principe est assez simple : +Son principe est assez simple : étant donné un nombre, on produit le suivant en "lisant" le précédent. Par exemple "11" se lit "deux uns" ce qui donne "21" ; à son tour "21" se lit "un deux, un un" soit "1211" et ainsi de suite : + - $1 \longrightarrow \text{un } 1$ + - $11 \longrightarrow \text{deux }1$ + - ${\color{#FCD600}2\color{#368CF3}1} \longrightarrow {\color{#FCD600}\text{un }2},\quad {\color{#368CF3}\text{un }1}$ + - ${\color{#FCD600}1\color{#368CF3}2\color{#1B9419}11} \longrightarrow {\color{#FCD600}\text{un }1},\quad {\color{#368CF3}\text{un }2},\quad {\color{#1B9419}\text{deux }2}$ + - $\underline{111\!}\,221 \longrightarrow \underline{\text{trois }1},\quad \text{deux }2,\quad \text{un} 1$ + - $312211$ + - $13112221$ + - $1113213211$ La règle de définition est : $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$ @@ -278,7 +286,7 @@ La règle de définition est : > La fin d'une chaîne finit toujours par atteindre l'un de ces cycles : > ![[ attachments/désintégration audioactive théorème de la fin cycles.excalidraw|950]] > -> > [!démonstration]+ Démonstration +> > [!démonstration]- Démonstration > > - Une chaîne se terminant par $1$ apparaîtra nécessairement dans cette suite de dérivations (en effet, tous les cas de chaîne finissant par $1$ y sont présents) : > > $1^{\geq 3}] \longrightarrow \underbrace{(\neq 2)^{X}1^{1}]}_{\mathclap{\text{plus général que }(\geq 3)^{X}1^{1}]}} \longrightarrow (\neq 2)^{X}1^{2}] \longrightarrow (\neq 2)^{X}2^{1}1^{1}] \longrightarrow \underbrace{2^{X\neq 2}1^{2}]}_{\mathclap{\text{fin de }(\neq 2)^{X}1^{1}2^{1}1^{2}]}} \longrightarrow 2^{2}1^{1}] \longrightarrow 2^{2}1^{2}] \longrightarrow 2^{3}1^{1}]$ > > Ce qui montre que toute chaîne se terminant par $1$ finit par atteindre une chaîne se terminant par $2^{3}1^{1}]$. @@ -323,8 +331,8 @@ La règle de définition est : > > - $21132211221121332211n]$ > > - $221132221222112112322211n]$ > > - $22113321132211221121332211n]$ -> > - $22\cdot \overbracket{1\color{#1BB51E}2}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}} \cdot \overbracket{31}^{\hspace{-4ex}\mathrlap{[3^{1}X^{\neq 3}}}221132221222112112322211n]$ -> > - ${\color{#1BB51E}2}\cdot \underbrace{\color{#FDC600}1311222113321132211221121332211n]}_{\text{cycle } (2)}$ +> > - $22\cdot \overbracket{12}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}} \cdot \overbracket{31}^{\hspace{-4ex}\mathrlap{[3^{1}X^{\neq 3}}}221132221222112112322211n]$ +> > - $2\cdot \underbrace{\color{#FDC600}1311222113321132211221121332211n]}_{\text{cycle } (2)}$ > > - $2 \cdot \overbracket{111}^{\mathclap{[1^{3}}}32 \cdot \overbracket{13}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}} \cdot 22 \cdot \overbracket{\color{crimson}\underset{\ce{Ca}}{12}}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}} \cdot \overbracket{\color{#FDC600}31}^{\hspace{-4ex}\mathrlap{[3^{1}X^{\neq 3}}}\color{#FDC600}221132221222112112322211n]$ > > - $2\cdot \underbrace{\color{#FDC600}1311222113321132211221121332211n]}_{\text{cycle } (2)}$ > > @@ -339,7 +347,7 @@ On a défini plus tôt ce qu'était un [[désintégration audioactive#^def-atome On peut alors décrire 92 atomes. Il est trivial de montrer que chacune de ces 92 chaînes est bien un atome (à l'aide du [[désintégration audioactive#^theoreme-de-decoupage|théorème de découpage]]). Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fait bien 92 éléments). -> [!info]+ Liste des éléments +> [!info]- Liste des éléments > | $n$ | nom | éléments dans la dérivée | chaîne | dérivée | > | ------- | --- | ---------------- | ------------------------------------------ | ---------------------------------------------------- | > | 1 | H | H (stable) | 22 | 22 | @@ -451,12 +459,13 @@ Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fa > > [!démonstration]- Démonstration > > 1. Cela est montré par la table des éléments donnée plus haut. Le lecteur sceptique pourra vérifier la correction des dérivations. > > 2. Cela est également montré par la table des élément. -> > Le principe de la démonstration est le suivant : -> > a. montrer que si un élément apparaît, alors n'importe quel autre élément finira par apparaître -> > b. montrer que si le Lithium ($Li = E_{3}$) apparaît, alors il finira par être présent dans toutes les chaînes après un certain temps -> > c. montrer que le Lithium engendre l'Uranium -> > d. montrer que l'Uranium engendre tous les autres éléments -> > e. conclure +> > > [!info] Principe de la démonstration : +> > > a. montrer que si un élément apparaît, alors n'importe quel autre élément finira par apparaître +> > > b. montrer que si le Lithium ($Li = E_{3}$) apparaît, alors il finira par être présent dans toutes les chaînes après un certain temps +> > > c. montrer que le Lithium engendre l'Uranium +> > > d. montrer que l'Uranium engendre tous les autres éléments +> > > e. conclure +> > > > En effet, pour tout $E_{n}$ (pour $n\geq 2$) contient, dans sa chaine dérivée, l'élément $E_{n-1}$. > > Pour plus de clarté, on utilisera la notation $E_{n} \xrightarrow{k} E_{i} \& E_{j} \& \cdots$ au lieu de $\forall C \text{ chaine},\quad \forall t\in \mathbb{N},\quad E_{n} \in C_{t} \implies E_{i} \in C_{t+k} \wedge E_{j}\in C_{t+k}\dots$ > > Ainsi, si l'on considère une chaine $C$ telle que l'élément $E_{n}$ apparaît après $t$ dérivations (dans $C_{t}$), et soit $m\leq n$ on peut affirmer que tous les éléments présents dans la dérivée de l'élément $E_{m}$ (colonne "éléments dans la dérivée", ligne $m$ du tableau) seront présents après $t+n-m$ dérivations (dans $C_{t+n-m}$). Autrement dit : $E_{n} \xrightarrow{n-m} \text{éléments dans la dérivée de }E_{m}$ @@ -480,5 +489,15 @@ Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fa > > La propriété 2. permet de conclure. +> [!definition] Chaine commune +> Une **chaine commune** est une chaine exclusivement composée d'éléments. + + > [!proposition]+ Théorème arithmétique -> 1. Les longueurs +> 1. Les longueurs de toutes les chaines communes (autres que les cas triviaux $[\;]$ et $[22]$) augmentent selon une progression géométrique, avec une même raison $\lambda > 1$. +> 2. Les abondances relatives des éléments dans ces chaines convergent vers une valeur fixe, strictement positive pour tous les éléments. +> > [!démonstration]+ Démonstration +> > On note $\operatorname{lg}[L]$ la longueur de $L$. +> > Comme chaque élément à une longueur entre $1$ et $42$ chiffres, on peut se permettre de compter indifféremment le nombre de chiffres et le nombre d'atomes (en effet, c'est la situation limite qui nous intéresse ; or la longueur d'une chaine commune non-triviale est strictement croissante, donc la différence de longueur des atomes devient négligeable par passage à la limite). +> > +> >