mbp-oskar.lan 2025-5-10:18:42:56

polynôme d'endomorphisme.md

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+aliases: 
+up:
+  - "[[polynôme]]"
+  - "[[endomorphisme linéaire]]"
+tags:
+  - s/maths/algèbre
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+
+> [!definition] Définition
+> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] avec $\dim(E) = n$
+> Soit $P = a_0 + a_1 X + \cdots +a_{k}X^{k} \in K[X]$ ([[polynôme]])
+> On note alors :
+> - Si $f \in \mathscr{L}(E)$ alors $P(f) = a_0 \mathrm{Id}_{E} + a_1 f + \cdots + a_{k}f^{k}$
+> - Si $A \in \mathcal{M}_{n}(K)$ alors $P(A) = a_0 I_{n} + a_1 A + \cdots + a_{k}A^{k}$
+^definition
+
+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ Les polynômes d'endomorphismes sont linéaires
+> $P(f) \in \mathscr{L}(E)$
+
+> [!proposition]+ Préservation des bases
+> Si $B$ est une [[base d'un espace vectoriel|base]] de $E$, alors $[P(f)]_{B} = P([f]_{B})$
+>  - dem Cela vient du fait que $f \mapsto [f]_{B}$ est un [[isomorphisme d'anneaux]]
+
+> [!proposition]+ Linéarité
+> 
+- $(\lambda P + Q)(f) = \lambda P(f) + Q(f)$
+- $(PQ)(f) = P(f) \circ Q(f) = (QP)(f)$
+- $\ker P(f)$ et $\operatorname{Im} Q(f)$ sont stables par $f$
+- Si $\lambda$ est [[valeur propre d'une matrice|valeur propre]] de $f$ alors $P(\lambda)$ est valeur propre de $P(f)$
+
+
+# Exemples
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