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@@ -40,26 +40,29 @@ Son principe est assez simple : étant donné un nombre, on produit le suivant e
 La règle définissant la suite peut alors être notée : $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
 
 # Notations
- - Comme les éléments de la suite sont plutôt des suites finies de chiffres que des nombres uniques, on appellera "chaine" un terme de la suite.
- - On assimilera toujours les éléments d'une chaine à des chiffres strictement positifs.
- - On se permettra de confondre "chaine" et "sous-chaine" (sous-ensemble de chiffres consécutifs d'une chaine) lorsque l'on traitera de propriétés locales.
- - On pourra noter $,12,23,11,$ : les virgules précisent le "parsing", c'est-à-dire la bonne manière de lire la chaîne
-     - = $\dots 233 \dots \longrightarrow \dots ,12,23, \dots$ mais $122111 \centernot{\longrightarrow} \dots ,12,23,1\dots$  même si $122111 \longrightarrow \dots 12231 \dots$
- - $L \longrightarrow L'$ signifie que $L$ est dérivée en $L'$ par désintégration audioactive
+ - Comme les éléments de la suite sont plutôt des suites finies de chiffres que des nombres uniques, on appellera **chaine** un terme de la suite.
+ - On assimilera toujours les éléments d'une chaine à des chiffres strictement positifs. Le théorème du jour 2 explicitera pourquoi $0$ et les nombres supérieurs à 10 n'ont pas d'intérêt particulier.
+ - On se permettra de confondre **chaine** et **sous-chaine** (sous-ensemble de chiffres consécutifs d'une chaine) lorsque l'on traitera de propriétés locales.
+ - On appellera **dérivation** le fait d'appliquer la règle de passage d'une chaine à la suivante.
+ - $L \longrightarrow L'$ signifie que $L$ dérive en $L'$ par désintégration audioactive
      - On note aussi $L \longrightarrow L' \longrightarrow L'' \longrightarrow \cdots$ pour $L \longrightarrow L'$ et $L' \longrightarrow L''$ et $L'' \longrightarrow \cdots$
+     - On peut ajouter une condition : $L \xrightarrow{n\neq 2} L'$ signifie que $L$ dérive en $L'$  **
  - $L_{n}$ est le $n^{\text{ème}}$ *descendant* de $L$ (le résultat de $n$ dérivations de $L$)
-     - évidemment : $L_0 = L$ et $L_{n} \to L_{n+1}$
+     - évidemment : $L_0 = L$ et $L_{n} \longrightarrow L_{n+1}$
      - i on peut noter $L \xrightarrow{n} L_{n}$
- - On utilise $[$ et $]$ pour dénoter la "véritable fin" des sous-chaines
+ - On pourra noter $,12,23,11,$ : les virgules précisent le **parsing**, c'est-à-dire la bonne manière de lire la chaîne
+     - = $\dots 233 \dots \longrightarrow \dots ,12,23, \dots$ mais $122111 \centernot{\longrightarrow} \dots ,12,23,1\dots$  même si $122111 \longrightarrow \dots 12231 \dots$
+ - On utilise $[$ et $]$ pour dénoter le *véritable début* et la *véritable fin* des sous-chaines
      - = $[11222$ correspond à $11 222\cdots$ autrement dit, la chaine continue potentiellement à droite, mais pas à gauche
  - On utilise les puissances pour la répétition
      - = $3^{4}2^{1}1^{5} = 333211111$
      - i on prends toujours la plus grande puissance possible (par exemple, $11111$ ne sera jamais noté comme $1^{2}1^{3}$) (cela est important pour les premiers théorèmes)
  - $X$ désigne un chiffre arbitraire (non nul)
+     - i si on écrit $[a^{\alpha}X^{\beta}$, on suppose que $a \neq X$ et que la suite de la chaine (s'il y en a une) n'est pas directement un $X$.
      - = $X^{0}a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$ correspond à $[a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$
      - = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{0}$ correspond à $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}]$
-     - = $2^{2}X^{2}$ correspond à l'une de : $2^{2}1^{2},\quad 2^{2}3^{2},\quad 2^{2}4^{2},\quad 2^{2}5^{2}, \dots$ (mais pas à $2^{2}2^{2} = 2^{4}$)
-     - = $2^{X}$ correspond à l'une de : $2,\quad 2^{2},\quad 2^{3},\quad 2^{4}, \dots$ (mais ne peut pas être vide)
+     - = $2^{2}X^{2}$ correspond à l'une des chaines : $2^{2}1^{2},\quad 2^{2}3^{2},\quad 2^{2}4^{2},\quad 2^{2}5^{2}, \dots$ (mais pas à $2^{2}2^{2} = 2^{4}$)
+     - = $2^{X}$ correspond à l'une des chaines : $2,\quad 2^{2},\quad 2^{3},\quad 2^{4}, \dots$ (mais ne peut pas être vide)
  - $\neq n$ désigne n'importe quel chiffre (éventuellement 0) autre que $n$
      - = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{\neq 0}$ signifie $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$ suivi d'au moins un autre chiffre
      - = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} (\neq 2)^{\neq 0}$ signifie que ce dernier chiffre n'est pas un $2$
@@ -498,8 +501,21 @@ Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fa
 > 1. Les longueurs de toutes les chaines communes (autres que les cas triviaux $[\;]$ et $[22]$) augmentent selon une progression géométrique, avec une même raison $\lambda > 1$.
 > 2. Les abondances relatives des éléments dans ces chaines convergent vers une valeur fixe, strictement positive pour tous les éléments.
 > > [!démonstration]+ Démonstration
-> > On note $\operatorname{lg}[L]$ la *longueur* d'une chaine (son nombre de chiffres) et $\operatorname{ne}[L]$  le *nombre d'éléments* contenus dans une chaine $L$.
-> > Comme tous les éléments ont une comprise entre $1$ et $42$
+> > On note $\operatorname{lg}[L]$ la *longueur* d'une chaine (son nombre de chiffres) et $\operatorname{ne}[L]$  le *nombre d'éléments* (en comptant les doublons) contenus dans une chaine $L$.
+> > Par exemple, $\operatorname{lg}[3223] = 4$ et $\operatorname{ne}[3223] = \operatorname{ne}[\ce{U \cdot H  \cdot U}] = 3$.
+> > Comme tous les éléments ont une comprise entre $1$ et $42$, on peut assimiler la longueur au nombre d'éléments dans le calcul de $\lambda$. Formellement, si $L_0$ est une chaine commune :
+> > $\forall n,\quad \operatorname{ne}[L_{n}] \leq \operatorname{lg}[L_{n}]  \leq 48  \cdot \operatorname{ne}[L_{n}]$
+> > Donc :
+> > $\displaystyle\forall n,\quad \frac{\operatorname{ne}[L_{n+1}]}{\operatorname{ne}[L_{n}]} \leq \frac{\operatorname{lg}[L_{n+1}]}{\operatorname{lg}[L_{n}]} \leq \frac{48 \cdot \operatorname{ne}[L_{n+1}]}{48\cdot \operatorname{ne}[L_{n}]}$
+> > Ce qui montre bien que $\forall n,\quad \dfrac{\operatorname{lg}[L_{n+1}]}{\operatorname{lg}[L_{n}]} = \dfrac{\operatorname{ne}[L_{n+1}]}{\operatorname{ne}[L_{n}]}$.
+> > Or, comme $\lambda$ est l'éventuelle limite de $\dfrac{\operatorname{lg}[L_{n+1}]}{\operatorname{lg}[L_{n}]}$, on pourra aussi bien calculer $\lambda$ en considérant la longueur que le nombre d'éléments.
 > > 
-> >  1. 
+> >  1. Soit $L_0$ une chaine commune, notons $\#_{E_{k}}[L_0]$ le nombre d'occurences de l'élément $E_{k}$ dans $L_0$.
+> >     Par exemple $\operatorname{ne}[L_{n}] =\sum\limits_{k=1}^{92} \#_{E_{k}}[L_n]$.
+> >     Représentons alors $L_{n}$ comme un vecteur de $\mathbb{N}^{92}$ : la $k^{\text{ème}}$ coordonnée sera le nombre d'occurence de $E_{k}$ dans $L_{n}$. On notera $v^{(n)} =\operatorname{vec}[L_{n}] = (\#_{E_1}[L_{n}],\quad \#_{E_2}[L_{n}],\quad \#_{E_{3}}[L_{n}], \dots,\quad \#_{E_{92}}[L_{n}])$.
+> >     Autrement dit :
+> >     $\forall k \in [\![ 1; 92]\!],\quad v^{(n)}{}_{k} = \operatorname{vec}[L_{n}]_{k} = \#_{E_{k}}[L_{n}]$
+> >     $v^{(n)}$ est donc le vecteur comptant les occurences des éléments dans $L_{n}$.
+> >     Par la propriété 1. du théorème chimique, on sait que cette représentation vectorielle est « suffisante » puisque l'on peut passer de $v^{(n)}$ à $v^{(n+1)}$ en faisant un comptage adéquat de la nouvelle quantité de chaque élément :
+> >     $\forall k \in [\![1; 92]\!],\quad v^{(n+1)}{}_{k} = \sum\limits_{i=1}^{92}\#_{E_{k}}[(v^{(n)})' ]$
 > >