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théorème des valeurs extrêmes.md

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+alias: [ "théorème des bornes atteintes", "théorème de Weierstrass" ]
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+up:: [[fonction continue]] 
+title:: "toute [[fonction continue]]sur un [[intervalle fermé]] est [[fonction bornée|bornée]]"
+#maths/analyse 
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+> [!definition] théorème des valeurs extrêmes
+> Soit $\mathbf{K}$ un [[corps]]
+> Soit $I \subset \mathbf{K}$ un [[intervalle fermé]]
+> Soit $f: I \to F$
+> Si $f\in C^{0}(I)$ ($f$ est [[fonction continue|continue]] sur $I$), alors $f$ est **[[fonction bornée|bornée]]**
+^definition
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+> [!attention] Intervalles contenant des infinis
+> La propriété ne fonctionne plus quand l'intervalle $I$ contient des valeurs infinie.
+> Par exemple, la fonction :
+> $\begin{align} f : & [0; +\infty] \to \mathbb{R}^{+}\\ & x \mapsto e^{x} \end{align}$
+> Est continue sur l'intervalle $[0; +\infty]$, mais n'est pas bornée (elle diverge vers $+\infty$ en $+\infty$)
+> (voir [[fonction exponentielle]])
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