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théorème de Newton.md

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+alias: "algorithme de Newton"
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+up::[[analyse|analyse]]
+author::[[Isaac Newton]]
+#maths/analyse 
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+> [!definition] Théorème de Newton
+> Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}^{+}$ dans $\mathbb{R}^{+}$, de [[classe d'une fonction|classe]] $\mathcal{C}^{1}$ 
+> Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $f(\alpha) = 0$
+> On crée la suite $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ telle que :
+> $\begin{cases} x_{0}\in\mathbb{R}^{+}\\ x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\end{cases}$
+> 
+> On choisit $x_{0}$ voisin de $\alpha$.
+> Alors, $(x_{n})$ [[suite convergente|converge]] vers $\alpha$, et la [[suite convergente|convergence]] est [[équation quadratique|quadratique]].
+> 
+> Remarque : pour trouver $f$, si $\alpha$ est de la forme $\alpha = g(a)$, alors on peut prendre $f = g^{-1}(a) - a$ (on aura donc bien $f(\alpha) = 0$)
+^definition
+
+> [!example] Exemple 
+> Calcul de $\frac{1}{a}$ à l'aide du [[théorème de Newton]].
+> 
+> On pose $f(x) = \frac{1}{x} - a$, on a bien $f\left( \frac{1}{a} \right) = 0$
+> 
+> On obtient $f'(x) = - \frac{1}{x^{2}}$
+> 
+> $x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$.
+> Si