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théorème de Dirichlet.md

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+up:: [[série de Fourier]]
+title:: "si $f$ admet une dérivée à droite ($f'(x^{+})$) et à gauche ($f'(x^{-})$), alors $SF_{f}(x) = \dfrac{f(x^{-}) + f(x^{+})}{2}$"
+#maths/analyse 
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+> [!definition] théorème de Dirichlet
+> Soit $f$ une fonction intégrable sur $I$, et [[dérivable par morceaux]] sur $I$
+> Soit $SF_{f}$ la [[série de Fourier]] de $f$.
+> On sait que, pour tout $x \in I$
+>  - si $f$ est dérivable en $x$, alors $SF_{f}(x) = f(x)$
+>  - si $f$ n'est pas dérivable en $x$, alors :
+>      - si $f$ admet une dérivée à droite ($f'(x^{+})$) et à gauche ($f'(x^{-})$)
+>          - $\boxed{SF_{f}(x) = \frac{f(x^{-}) + f(x^{+})}{2}}$
+^definition
+
+
+> [!definition] Corollaire
+> En particulier, si une fonction $f$ est dérivable sur $I$, alors sa [[série de Fourier]] [[suite de fonctions convergente|converge]] toujours vers elle-même :
+> $f \text{ dérivable en } x \implies SF_{f}(x) = f(x)$