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suite de Cauchy.md

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+up::[[suite]]
+title::"les $u_{n}$ pour $n$ grand sont _proches_ les uns des autres"
+#maths/analyse 
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+> [!definition] Suite de Cauchy
+> Soit $(u_{n})_{n}$ une suite
+> On dit que $(u_{n})_{n}$ est une *suite de Cauchy* ssi :
+> $\forall \varepsilon > 0, \quad \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \quad \forall (n, m) \in \mathbb{N}^{2}, \quad (n \geq n_{0} \wedge m \geq n_{0}) \implies |u_{n}-u_{m}| \leq \varepsilon$
+^definition
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+# Propriétés 
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+ - Sur $\mathbb{R}$, toute [[suite convergente]] est de cauchy
+ - Sur un [[ensemble complet]], toute suite de cauchy est convergente
+     - Exemple : $\mathbb{Q}$ n'est pas complet, et certaines suites de cauchy sur $\mathbb{Q}$ convergent vers un élément de $\mathbb{R}$ mais pas de $\mathbb{Q}$
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