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sous espaces vectoriels supplémentaires.md

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+alias: [ "supplémentaires" ]
+---
+up::[[somme d'espaces vectoriels]]
+sibling::[[somme directe d'espaces vectoriels]]
+#maths/algèbre
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+----
+
+> [!definition] Sous espaces vectoriels supplémentaires
+> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
+> Soient $F$ et $G$ deux [[sous espace vectoriel|sous espaces vectoriels]] de $E$
+> $F$ et $G$ sont **supplémentaires dans $E$** ssi $F \oplus G = E$, c'est-à-dire qu'ils sont en [[somme directe d'espaces vectoriels|somme directe]] dans $E$.
+> 
+> Par définition, $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ ssi :
+>  - $F + G = E$ (leur [[somme d'espaces vectoriels|somme]] reconstitue $E$)
+>  - $F \cap G = \{ 0_{E} \}$ (cette somme est [[somme directe d'espaces vectoriels|directe]])
+^definition
+
+> [!definition] Autre définition
+> $F$ et $G$ sont _supplémentaires dans $E$_ ssi tout élément de $E$ s'écrit de manière unique comme la somme d'un élément de $F$ et d'un élément de $G$
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+# Définitions
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+ - $\forall w \in E, \exists!(u;v)\in F \times G, u+v = w$
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+ - $F \cap G = \{0_{E}\}$ et $F+G = E$
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