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somme d'espaces vectoriels.md

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+alias: [ "somme" ]
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+up:: [[sous espace vectoriel]] 
+title::"$E_{1}+E_{2} = \{ u_{1}+u_{2} \mid u_{1}\in E_{1} \wedge u_{2} \in E_{2} \}$"
+#maths/algèbre
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+> [!definition] somme d'espaces vectoriels
+> Soient $E_{1}$ et $E_{2}$ deux [[sous espace vectoriel|sous espaces vectoriels]] d'un [[espace vectoriel]] $E$
+> La somme $E_{1}+E_{2}$ est l'ensemble des sommes d'un [[vecteur]] de $E_{1}$ et d'un [[vecteur]] de $E_2$
+> 
+> $\boxed{E_{1}+E_{2} = \big\{ u_{1} + u_{2} \mid u_{1}\in E_{1} \wedge u_{2} \in E_{2}\big\}}$
+> 
+> Cette somme est un [[sous espace vectoriel]] de $E$
+> 
+> > [!info] remarque
+> > Puisque $E_1$ et $E_2$ sont des [[espace vectoriel|espaces vectoriels]], on sait que $u_1 \in E_1 \implies \lambda u_1 \in E_1$ et $u_2 \in E_2 \implies \gamma u_2 \in E_2$, donc $E_1 + E_2$ est **l'ensemble des [[combinaison linéaire|combinaisons linéaires]] de vecteurs de $E_1$ et $E_2$**
+> 
+^definition
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+# Propriétés
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+ - $\dim (F+G) = \dim(F) + \dim(G) - \dim(F \cap G)$
+     - on retire $\dim(F\cap G)$ pour ne pas compter deux fois l'intersection
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