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signature d'une forme quadratique.md

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+alias: [ "signature" ]
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+up:: [[forme quadratique]]
+title:: "(# coefficients positifs, # coefficients négatifs) dans la [[réduction de Gauss d'une forme quadratique|réduction de gauss]]""
+#maths/algèbre  
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+> [!definition] signature d'une forme quadratique
+> Soit $\psi$ une [[forme quadratique]].
+> La **signature** de $\psi$ est le couple d'entiers qui contient :
+>  1. le nombre de signes positifs devant les carrés
+>  2. le nombre de signes négatifs devant les carrés
+> dans la [[réduction de Gauss d'une forme quadratique]] 
+^definition
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+# Exemples
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+> [!example] Exemple 
+> Soit $\psi \left( \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \right) = x^{2} + 4xy + 2y^{2} = \underbrace{(x+2y)^{2} - 2y^{2}}_{\text{forme de Gauss}}$
+> Dans la forme de Gauss, on a $1$ parenthèse avec un signe positif, et $1$ parenthèse avec un signe négatif, donc la **signature** est : $\boxed{(1, 1)}$
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+> [!example] Exemple 
+> Soit $\phi \left( \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \right) = x^{2} - 3y^{2} + 4z^{2} +2xy - 4xz - 8yz = \underbrace{\underbracket{\;\;\;}_{+}(x+y+2z)^{2} \underbracket{-} (2y + z)^{2} \underbracket{+} z^{2}}_{\text{forme de Gauss}}$
+> Dans la forme de Gauss, on a $2$ parenthèses avec un signe positif, et $1$ parenthèse avec un signe négatif, donc la **signature** est : $\boxed{(2, 1)}$
+> 
+
+
+# Propriétés
+Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
+Soit $\psi$ une forme quadratique de $E \to \mathbf{K}$
+Soit $(a, b)$ la signature de $\psi$
+
+ - $\psi$ est une [[norme]] **ssi** sa signature est $(a,\; 0)$ avec $a = \dim E$
+     - Si il y à des termes négatifs, elle ne sera pas [[forme quadratique positive|positive]]
+     - Si $a < \dim E$, (elle est [[forme quadratique dégénérée|dégénérée]]) elle ne sera pas [[forme quadratique définie|définie]] 
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+ - $\psi$ est [[forme quadratique définie|définie]] **ssi** sa signature est $(n, 0)$ ou $(0, n)$ avec $n = \dim E$
+     - une forme [[forme quadratique définie|définie]] est toujours [[forme quadratique positive|positive]] ou [[forme quadratique négative|négative]]
+     - $n = \dim E$ veut dire qu'elle est [[forme quadratique non dégénérée]]
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