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relation d'équivalence.md

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+sr-due: 2023-01-06
+sr-interval: 113
+sr-ease: 291
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+up::[[relation]]
+#maths/algèbre 
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+Soient $E$ un ensemble non vide, et $\mathscr R$ une [[relation]].
+$\mathscr R$ est une _relation d'équivalence_ ssi elle est :
+ - [[relation réflexive|réflexive]] : $\forall x\in E, x\mathscr Rx$
+ - [[relation symétrique|symétrique]] : $\forall (x, y)\in E^2, x\mathscr Ry\implies y\mathscr Rx$
+     - On peut facilement prouver que cette proposition est équivalente à $\forall (x,y)\in E^2, x\mathscr Ry \iff y\mathscr Rx$
+ - [[relation transitive|transitive]] : $\forall (x,y,z)\in E^3, x\mathscr Ry \vee y\mathscr Rz \implies x\mathscr Rz$
+
+# Exemples
+ - l'égalité est une relation d'équivalence
+ - Soit $E$ l'ensemble des droites du plan, le parallélisme sur $E$ est une relation d'équivalence
+ - Soit $E$ l'ensemble des étudiants d'une université, la relation _être dans la même promotion_ est une relation d'équivalence sur $E$