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résolution d'un SL.md

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+sr-due: 2022-10-04
+sr-interval: 4
+sr-ease: 274
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+up::[[système linéaire]]
+#maths/algèbre 
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+
+
+## Résolution par substitution
+On cherche a exprimer une variable en fonction d'une autre, puis on remplace des expressions des variables ainsi trouvées.
+
+## Méthode du pivot de Gauss
+### Exemple
+$(S): \left\{ \begin{array}{rcllr} x&+y&+7z&=-1&L_1\\ 2x&-y&+5z&=-5&L_2\\ -x&-3y&-9z&=-5&L_3 \end{array} \right.$
+
+On transforme $(S)$ en un système équivalent lorsque l'on effectue l'une des opérations suivantes :
+ a. Interversion des lignes $L_i$ et $L_j$; on écrit $L_i \leftrightarrow L_j$
+ b. Multiplication de $L_i$ par un nombre $\lambda \neq 0$; on écrit $\lambda L_x \rightarrow L_i$ (qui se lit "$\lambda L_i$ remplace $L_i$")
+ c. Remplacement de $L_i$ par $L_i + \mu L_j$, où $\mu$ est un nombre réel, et $j\neq i$; on écrit $L_i + \mu L_j \rightarrow L_i$
+
+La méthode du pivot de Gauss consiste à transformer à l'aide de ces 3 règles le système $(S)$ en un système équivalent "écholonné", c'est-à-dire où la variable $x$ n'apparaît plus $L_1$ et $L_2$, et où $y$ n'apparaît plus dans $L_2$.
+On a
+$$\begin{aligned}
+\left\{\begin{array}{rrrrr}x&+y&+7z&=&-1\\ 2x&-y&+5z&=&-5\\ -x&-3y&-9z&=&-5 \end{array}\right.
+\iff
+\left\{\begin{array}{rrrrrl}x&+y&+7z&=&-7&(L_1\rightarrow L_1)\\ &-3y&-9z&=&-3&(L_2-2L_1\rightarrow L_2)\\ &-2y&-2z&=&-6&(L_3+L_1\rightarrow L_3) \end{array}\right.\\
+\iff
+\left\{\begin{array}{rrrrrl}x&+y&+7z&=&-7&(L_1\rightarrow L_1)\\ &-3y&-9z&=&-3&(L_2-2L_1\rightarrow L_2)\\ &-2y&-2z&=&-6&(L_3+L_1\rightarrow L_3) \end{array}\right.\\
+\end{aligned}$$
+
+## Méthode générale 
+
+![[système linéaire 2022-08-29 17.52.52.excalidraw|1500]]