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propriété d'Archimède.md

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+up::[[MOC arithmétique|arithmétique]] 
+title:: "$\forall b \in \mathbb{N}^{*}, \quad \forall a \in \mathbb{N}, \quad \exists k \in \mathbb{N}, \quad kb > a$"
+#maths/arithmétique 
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+> [!definition] Propriété d'Archimède
+> Soit $b \in \mathbb{N}^{*}$
+> Pour tout $a \in \mathbb{N}$
+> $\exists k \in \mathbb{N}, kb > a$
+> C'est-à-dire que l'on peut multiplier $b$ pour obtenir un nombre plus grand que $a$
+^definition
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+# Démonstration
+Soit $b\mathbb{N}$ l'ensemble des multiples de $b$ : $b\mathbb{N} = \{ kb \mid k \in \mathbb{N} \}$
+Soit $\mathbf{B}_{a} = \{ x \in b\mathbb{N} \mid x \leq a \}$ l'ensemble des nombres de $b\mathbb{N}$ inférieurs à $a$
+ - $\mathbf{B}_{a}$ est non-vide, car il contient $0$
+ - $\mathbf{B}_{a}$ est majoré (par $a$)
+Donc, $\mathbf{B}_{a}$ admet un plus grand élément.
+Soit $m = qb$ ce plus grand élément.
+On sait que, pour tout $k \in \mathbb{N}$ avec $k > q$, on a $kb > qb$
+Or, $kb \in b\mathbb{N}$ et $kb > m$, donc $kb$ n'est pas dans $\mathbf{B}_{a}$, d'où $\boxed{kb > a}$
+