from github to this gitea

produit vectoriel.md

@@ -0,0 +1,41 @@
+up::[[vecteur]]
+title::$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\wedge \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}yz'-y'z\\zx'-z'x\\xy'-x'y\end{pmatrix}$
+description::"$u \wedge v \wedge w$ = volume du [[parallélépipède]] porté par $u, v, w$"
+#maths/géométrie #maths/algèbre
+
+----
+Le *produit vectoriel* de deux [[vecteur|vecteurs]] $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est noté :
+$\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}$
+
+
+> [!definition] 
+> 
+> $\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} yz' - y'z\\zx'-z'x\\xy'-x'y \end{pmatrix}$
+>  - [!]  le produit vectoriel n'existe que pour des [[vecteur|vecteurs]] en dimension 3
+>  - [i]  le produit vectoriel n'est pas [[associativité|associatif]] ni [[commutativité|commutatif]]
+^definition
+
+
+> [!idea] Calcul
+> ![[produit vectoriel 2022-12-28 18.55.05.excalidraw|100%]]
+
+# Propriétés 
+ - $u \wedge v = -(v \wedge u)$
+     - vient des propriétés du [[déterminant d'une matrice|déterminant]] (inverser deux colonnes fait l'oppposé)
+ - $u \wedge u = \vec{0}$
+     - obligatoire car un [[déterminant d'une matrice|déterminant]] avec 2 colonnes identiques est nul
+     - obligatoire car $(u \wedge u) = -(u \wedge u)$ par inversion 
+ - $(u \wedge v) \bot u$ et $(u \wedge v) \bot v$
+     - le produit vectoriel permet de trouver un nouveau vecteur [[vecteurs orthogonaux|orthogonal]] à deux autres
+ - $(a + b) \wedge v = (a \wedge v) + (b \wedge v)$ le produit vectoriel est [[distributivité|distributif]] (des deux côtés)
+ 
+ - $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \sin\left( \widehat{\vec{u}, \vec{v}} \right)$
+     - analogue au [[produit scalaire]], mais avec un $\sin$ à la place du $\cos$
+     - la direction est connue car $(u \wedge v) \bot u$ et $(u \wedge v) \bot v$
+ - $\|u \wedge v \wedge w\| = \left| \det \left( u; v; w \right) \right|$ (voir l'[[produit vectoriel#Interprétation géométrique|interprétation géométrique]])
+
+## Interprétation géométrique
+La [[norme]] du produit vectoriel de 3 vecteurs donne le volume d'un [[parallélépipède]] (non nécessairement rectangle) dont les côtés portent ces 3 vecteurs
+
+Cela fonctionne aussi en dimension 2, avec deux vecteurs sur un même plan.
+