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produit scalaire.md

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+up::[[vecteur]], [[forme bilinéaire]]
+title:: "[[forme bilinéaire]] [[forme bilinéaire symétrique|symétrique]] [[forme bilinéaire définie|définie]] [[forme bilinéaire positive|positive]]"
+#maths/algèbre
+
+----
+Le *produit scalaire* de deux [[vecteur|vecteurs]] $u$ et $v$ est défini comme :
+$<u, v> = u +.\times v = u^T \times v$ ([[multiplication de matrices]], avec $u$ en ligne et $v$ en colonnes)
+
+
+> [!definition] produit scalaire
+> $\begin{align}<u,v> &= \sum\limits_{i} \left( u_{i}\times v_{i} \right)\\ &= u^{T}\times v\end{align}$
+> (sur un [[espace vectoriel]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie, sur $\mathbb{R}$ ou sur $\mathbb{C}$)
+> (ce n'est pas le seul produit scalaire possible. Voir [[produit scalaire#^definition-formelle]])
+^definition
+
+
+> [!definition] définition géométrique
+> $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\cdot \cos\left(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}\right)$ 
+> $\|\vec{v}\|\cdot \cos \left( \widehat{\vec{u}, \vec{v}} \right)$ est la mesure algébrique (norme avec un signe) du projeté de $\vec{v}$ sur $\vec{u}$
+> Donc, $\vec{u}\cdot\vec{v}$ est le produit des normes des composantes en $\vec{u}$ de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (c'est pourquoi $\frac{u.v}{\|u\|} \times \frac{1}{\|u\|}\times u$ est le [[projeté orthogonal d'un vecteur|projeté]] de $v$ sur $u$)
+> **Note :** $\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}$ donc on peut [[projection d'un vecteur sur une droite vectorielle|projeter]] sur $\vec{u}$ ou sur $\vec{v}$ indiféremment.
+^definition-geometrique
+
+> [!definition] Définition formelle
+> Soit $E$ un $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel]]
+> Un **produit scalaire** est une [[forme bilinéaire]] [[forme bilinéaire symétrique|symétrique]], [[forme bilinéaire définie|définie]] et [[forme linéaire positive|positive]]
+>  - [[forme bilinéaire]] $b$
+>      - [[forme bilinéaire symétrique|symétrique]] : $b(x, y) = b(y, x)$
+>      - [[forme bilinéaire définie|définie]] : $b(x, x) = 0 \iff x = \vec{0}$
+>      - [[forme bilinéaire positive|positive]] : $b(x, x) \geq 0$
+> 
+> Si on munit $E$ de $\varphi$, on obtient un [[espace préhilbertien réel]]
+^definition-formelle
+
+
+# Propriétés
+
+## Propriétés des produits scalaires
+Soit $\langle \cdot,\cdot \rangle$ un produit scalaire quelconque
+
+- Soit $A$ une matrice : $\boxed{\langle u, Av \rangle = \langle \,^T\!Au, v \rangle}$
+    - Démonstration :
+
+$$\begin{align}
+\langle u, A v \rangle  &= \left(\,^T\!u \right) M \left(A v \right) && \text{soit } M \text{ la matrice du produit scalaire}\\
+&= \left( \,^T\!u M A \right) v && \text{par associativité} \\
+&= \,^T\!\left( \,^T\!A M u \right) \cdot v  && \text{car } M \text{ est symétrique}\\
+&= 
+\end{align}$$
+
+## Orthogonalité
+On utilise le produit scalaire pour définir l'[[vecteurs orthogonaux|orthogonalité]].
+
+On dit que : $\langle u, v\rangle = 0 \iff \begin{cases} \vec{u}=\vec{0} \text{ ou } \vec{v}=\vec{0}\\ \text{ ou }\\ \vec{u} \bot \vec{v} \end{cases}$
+
+Ou bien simplement $u \bot v \iff \langle u, v\rangle$ si on considère que $\vec{0}$ est orthogonal à tous les autres vecteur, ou bien si on l'exclut.
+
+## Colinéarité
+On utilise le produit scalaire et la [[norme]] pour définir la [[vecteurs colinéaires|colinéarité]].
+
+On dit que $u \text{ colinéaire à } v \iff \left|\langle u,v\rangle \right| = \|u\|\cdot\|v\|$, c'est-à-dire quand l'[[inégalité de cauchy schwartz]] est une égalité.
+
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