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principe de récurrence.md

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+up::[[axiomatique]]
+title::"$P(0) \wedge \forall n, P(n) \implies P(n+1)$"
+#maths
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+----
+Si un propriété est vraie pour $x_{0}$, et si pour tout $n > x_{0}$ on a $P(n) \implies P(n+1)$, alors on à $\forall n > x_{0}, P(n)$.
+
+> [!définition]
+> $\big( P(0) \wedge \forall n \in \mathbb{N}, P(n) \implies P(n+1) \big) \quad \implies \quad \forall n \in \mathbb{N}, P(n)$
+^definition
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+# Propriétés
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+ - Avec les [[axiomes de Peano]], le principe de récurrence est un _axiome_
+ - Avec les [[axiomes Zemerlo Frankel]], c'est un théorème
+     - [[ZF démonstration du principe de récurrence]]