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pgcd.md

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+up::[[MOC arithmétique]]
+#maths/arithmétique 
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+Le Plus Grand Commun Diviseur de plusieurs nombres (souvent deux) est noté  $\text{pgcd}(a; b; c;\cdots)$ et est le plus grand nombre qui divise tous ces nombres
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+> [!definition] PGCD
+> $\mathrm{pgcd}(a;b) = \mathrm{max} \{ d \in \mathbb{Z} \mid (d \mid a) \wedge (d \mid b) \}$
+> 
+> Ou bien, pour plus de deux nombres :
+> $\mathrm{pgcd}(x_{1};x_{2};x_{3};\cdots) = \mathrm{max} \{ d \in \mathbb{Z} \mid (d\mid x_{1}) \wedge (d\mid x_{2}) \wedge (d\mid x_{3}) \cdots \}$
+> 
+^definition
+
+> [!definition] autre définition
+> Le $\text{pgcd}$ de $x_1, x_2, x_3,\ldots$ est le produit de l'intersection des [[ensemble avec répétitions]] des [[décomposition en facteurs premiers|décompositions en facteurs premiers]] de chacun des nombres $x_1,x_2,x_3,\ldots$
+^definition
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+> [!info] Notation
+> Le $\mathrm{pgcd}$ de $a$ et $b$ peut être noté :
+>  - $\mathrm{pgcd}(a;b)$ ou $\text{PGCD}(a;b)$
+>  - $a\wedge b$
+>  - `a ∨ b` en [[APL]]
+>      - plus cohérent quand on est sur $\{0; 1\}$
+>  - `a and b` en [[python]]
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+# Propriétés
+Soient $a$ et $b$ deux entiers non nuls
+ - $\mathrm{pgcd}(a,b)\times\mathrm{ppcm}(a,b)=|ab|$
+     - [[ppcm]]
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