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orthogonal d'un sous espace vectoriel.md

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+alias: [ "orthogonal", "sev orthogonal", "sous espace vectoriel orthogonal", "espace orthogonal" ]
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+up:: [[espace préhilbertien]], [[sous espace vectoriel|sev]]
+title:: "ensemble des [[vecteurs orthogonaux]] à tous les vecteurs d'un [[sous espace vectoriel|sev]]", "$F^{\bot} = \{ u \in E \mid \forall f \in F, \quad \langle u, f\rangle = 0 \}$"
+#maths/algèbre 
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+> [!definition] Orthogonal d'un sous espace vectoriel
+> Soit $(E, \langle.\rangle)$ un [[espace préhilbertien]]
+> Soit $F \subset E$ un [[sous espace vectoriel|sev]] de $E$
+> On appelle **orthogonal de $F$** l'ensemble :
+> $F^{\bot} := \{ v \in E \mid \forall f \in F, \quad u \bot f \}$
+> On définit l'[[vecteurs orthogonaux|orthogonalité]] avec le produit scalaire :
+> $F^{\bot} := \{ v \in E \mid \forall f \in F, \quad \langle u, f\rangle=0 \}$
+^definition
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+# Propriétés
+Soit $(E, \langle . \rangle)$ un [[espace préhilbertien]] 
+Soit $F$ un [[sous espace vectoriel|sev]] de $E$
+
+ - $F^{\bot}$ est aussi un [[sous espace vectoriel|sev]] de $E$
+
+ - **en dimension finie :**
+     - $F \oplus F^{\bot} = E$
+         - $F$ et $F^{\bot}$ sont [[sous espaces vectoriels supplémentaires|supplémentaires]] dans $E$
+     - $(F^{\bot})^{\bot} = F$
+     - $F \subset G \iff F^{\bot} \supset G^{\bot}$
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