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matrice d'une forme quadratique.md

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+alias: [ "matrice associée à une forme quadratique", "matrice associée" ]
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+up:: [[forme quadratique]], [[matrice]]
+title:: "matrice $M$ [[matrice symétrique|symétrique]] telle que $\varphi(x) = \,^T\!xMx$"
+#maths/algèbre 
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+> [!definition] matrice d'une forme quadratique
+> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] $n$
+> Soit $\varphi$ une [[forme quadratique]] de $E \to \mathbf{K}$
+> Soit $M$ une [[matrice]] de dimension $n \times n$
+> 
+> $M$ est la _matrice associée à la forme quadratique $\varphi$_ ssi :
+>  - $\forall x \in E, \quad \varphi(x) = \,^T\!xMx$
+>  - $M = \,^T\!M$ ($M$ est [[matrice symétrique|symétrique]])
+> 
+> > [!info] Remarque - unicité de la matrice
+> > Plusieurs matrices peuvent respecter $\varphi(x) = \,^T\!xMx$.
+> > On montre qu'il n'en existe qu'une seule qui soit symétrique.
+^definition
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