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isobarycentre d'un triangle.md

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+alias: [ "centre de gravité d'un triangle" ]
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+up:: [[triangle]]
+sibling:: [[médianes d'un triangle]]
+title:: "intersection des [[médianes d'un triangle|médianes]]"
+#maths/géométrie 
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+> [!definition] isobarycentre d'un triangle
+> Soit $ABC$ un triangle
+> Le **centre de gravité** de $ABC$ est l'[[isobarycentre]] de $(A, B, C)$, soit le point $G$ tel que :
+> $\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{BG} + \overrightarrow{CG} = \vec{0}$
+^definition
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+# Propriétés
+Soit $ABC$ un triangle
+Soient $a$, $b$ et $c$ les longueur opposées à $A$, $B$ et $C$
+Soient $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ les angles en $A$, $B$, $C$
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+ - $\displaystyle AG^{2} = \frac{2(b^{2}+c^{2}) - a^{2}}{9}$ (distance d'un point au centre de gravité)
+     - cela vient de la formule $\displaystyle AG^{2} = \frac{1}{9} \left( b^{2} + c^{2} + 2bc \cos(\alpha) \right)$
+         - $b^{2}+c^{2}+2bc\cos(\alpha) = \| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \|^{2}$
+             - c'est un carré [[produit scalaire|scalaire]]
+             - $\dfrac{1}{9}$ car $\displaystyle\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$