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intégration par parties.md

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+quickshare-date: 2023-04-05 13:47:36
+quickshare-url: "https://noteshare.space/note/clg3mk7h9706501pjm41my9in#4ZjKaXyJjespwdodKgrSvFMCQpB/+5JvxI6eoIZFwRM"
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+up::[[intégration]]
+#maths/analyse 
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+$\displaystyle \int u' \times v \, dx = u\times v - \int u \times v' \, dx$
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+Formule de l'intégration par parties :
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+$\displaystyle \int u'(x)\times v(x) \, dx = u(x)\times v(x) - \int u(x)v'(x) \, dx$
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+Ou, avec bornes : 
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+$\displaystyle \int _{\alpha}^{\beta} u'(x)\times v(x) \, dx = \left[ u(x)\times v(x) \right]_{\alpha}^{\beta} - \int _{\alpha}^{\beta} u(x)\times v'(x) \, dx$
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+# Démonstration
+On part de la formule pour la dérivée d'un produit :
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+$(u \times v) ' = u' \cdot  v - u\cdot v'$
+
+Si on intègre les deux côtés :
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+$\displaystyle u \times v = \int u'\cdot v \, dx + \int u\cdot v' \, dx \quad \iff \quad u \times v - \int u \cdot v' \, dx = \int u'\cdot v \, dx$
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+On obtient bien la formule de l'intégration par parties :
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+$\boxed{\int u' \times v \, dx = u\times v - \int u \times v' \, dx}$
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