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forme quadratique.md

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+up:: [[algèbre]]
+title::
+#maths/algèbre
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+> [!definition] Forme quadratique
+> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie
+> Une *forme quadratique* sur $E$ est une [[application]] $Q$ de $E \to \mathbf{K}$ qui s'exprique quelle que soit la [[base d'un espace vectoriel|base]], sous la forme d'un [[polynôme homogène]] de [[degré d'un polynôme|degré]] $2$
+^definition
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+> [!definition]- Autre définition
+> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie
+> Une *forme quadratique* sur $E$ est une [[application]] $q$ de $E \to \mathbf{K}$ qui peut s'exprimer comme $q(x) = b(x, x)$, où $b$ est une [[forme bilinéaire]] de $E^{2} \to \mathbf{K}$
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+# Propriétés 
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+> [!definition] Théorème
+> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie
+> Soit $Q : \mathbf{E} \to K$ une [[application]] 
+> $Q$ est une forme quadratique ssi : 
+> 
+> $\boxed{\forall x \in E, \quad \forall \lambda \in \mathbf{K}, \quad Q(\lambda x) = \lambda^{2}Q(x)}$
+>  - similaire à l'[[application homogène|homogénéité]] pour des [[application linéaire|applications linéaires]]
+> 
+> $\boxed{\begin{align}B :\, & E^{2}  \to \mathbf{K} \\ &(x, y) \mapsto \frac{1}{2} \left( Q(x+y) - Q(x) - Q(y) \right) \end{align}}$ est une [[forme bilinéaire symétrique]]
+>  - on a alors $B(x, x) = Q(x)$
+>  - la [[forme bilinéaire symétrique|symétrie]] de $B$ est important pour qu'elle soit unique à respecter cette propriété
+>  - $B$ est la [[forme bilinéaire symétrique associée à une forme quadratique|forme quadratique associée]] à $\varphi$
+
+> [!query] Sous-notes de `=this.file.link`
+> ```dataview
+> LIST title
+> FROM -#cours AND -#exercice AND -"daily" AND -#excalidraw AND -#MOC
+> WHERE any(map([up, up.up, up.up.up, up.up.up.up], (x) => econtains(x, this.file.link)))
+> WHERE file != this.file
+> SORT up!=this.file.link, up.up.up.up, up.up.up, up.up, up
+> ```