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forme quadratique positive.md

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+alias: [ "positive" ]
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+up:: [[forme quadratique]]
+sibling::[[forme quadratique négative]]
+title:: "$\varphi(x) \geq 0$"
+#maths/algèbre 
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+> [!definition] forme quadratique positive
+> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
+> Soit $\varphi$ une [[forme quadratique]] sur $E \to \mathbf{K}$
+> $\varphi$ est une forme quadratique **positive** ssi 
+> $\boxed{\forall x \in E, \quad \varphi(x) \geq 0}$
+^definition
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+> [!definition] définition avec la signature
+> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
+> Soit $\varphi$ une [[forme quadratique]] sur $E \to \mathbf{K}$
+> $\varphi$ est **positive** ssi sa signature est de la forme $(\dim E, 0)$
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+# Propriétés
+Soit $\varphi$ une forme quadratique sur $E \to \mathbf{K}$
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+> [!info]- "strictement" positive ([[forme quadratique définie|définie]])
+> On sait qu'il existe toujours un $x$ pour lequel $\varphi(x) = 0$, car $\varphi(\vec 0) = 0$.
+> Cependant, si $\vec 0$ est le **seul** vecteur qui annulle $\varphi$ (si $\varphi$ est [[forme quadratique définie|définie]]), c'est une forme de "stricte positivité", puisque les valeurs négatives sont réduites au maximum ($\text{card}\,\ker\varphi$ est minimum)
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