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forme quadratique définie.md

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+alias: [ "définie" ]
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+up:: [[forme quadratique]] 
+title:: "$\varphi(x) = 0 \iff x = \vec 0$"
+#maths/algèbre 
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+> [!definition] forme quadratique définie
+> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
+> Soit $\varphi$ une [[forme quadratique]] sur $E \to \mathbf{K}$
+> $\varphi$ est une forme quadratique **définie** ssi :
+> $\forall x \in E, \quad \varphi(x)=0 \iff x=\vec 0$
+^definition
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+# Propriétés
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+ - Une forme quadratique **définie** est toujours [[forme quadratique positive|positive]] ou [[forme quadratique négative|négative]]
+ - Une forme quadratique **définie** est une [[forme quadratique non dégénérée]], [[forme quadratique positive|positive]] ou [[forme quadratique négative|négative]]
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+ - Les formes quadratiques définies sont les formes quadratiques dont le polynôme associé possède une seule racine, $\vec 0$.
+     - Si on est sur $\mathbb{R}$, sa multiplicité est nécessairement de $2$ (par le [[théorème de d'Alembert]])
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