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forme linéaire définie.md

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+up::[[forme linéaire]]
+title:: $\varphi(x) = 0 \iff \vec{x} = \vec{0}$
+#maths/algèbre 
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+> [!definition] forme linéaire définie
+> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
+> Soit $\varphi$ une [[forme linéaire]] de $E \to \mathbf{K}$
+> On dit que $\varphi$ est une forme linéaire **définie** ssi $\boxed{\forall x \in E, \quad \varphi(x) = 0 \iff \vec{x} = \vec{0}}$
+> 
+> Une autre définition est $\ker \varphi = \{ \vec 0 \}$. Par le [[théorème du rang]], on sait que c'est possible seulement si $\boxed{\dim E = 1}$
+> Toutes les formes sur un espace de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] $1$ sont définies (car elles sont linéaire), sauf la forme linéaire nulle.
+> Donc, les formes linéaire définies sont les formes linéaires de la forme $\begin{align} \varphi : & \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\ & x \mapsto ax \quad \text{avec }a \in \mathbb{R}^{*}\end{align}$
+^definition