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forme bilinéaire symétrique.md

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+alias: [ "symétrique" ]
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+up::[[forme bilinéaire]]
+title::"$f(u, v) = f(v, u)$"
+#maths/algèbre
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+---
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+> [!definition] 
+> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
+> Soit $f$ une [[forme bilinéaire]] de $E^{2} \to \mathbf{K}$
+> $f$ est **symétrique** ssi : $\boxed{f(u, v) = f(v, u)}$ quels que soient $(u, v) \in E^{2}$
+^definition
+
+> [!definition]- Définition Formelle
+> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
+> Une application $f$ *bilinéaire* est une [[application]]  de $E^{2} \to \mathbf{K}$  ssi :
+>  - elle est linéaire par rapport à ses deux paramètres
+>      - $f((a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2}; v)) = a_{1}f((u_{1}, v))+a_{2}f((u_{2}, v))$ ([[application linéaire|linéaire]] par rapport à $u$)
+>      - $f((u; a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2})) = a_{1}f((u, v_{1}))+a_{2}f((u,v_{2}))$ ([[application linéaire|linéaire]] par rapport à $v$)
+>  - elle est [[relation symétrique|symétrique]]
+>      - $f(u, v) = f(v, u)$
+^definition-formelle
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+# Propriétés
+Soit $f$ une [[forme bilinéaire]] de $E^{2} \to \mathbf{K}$
+
+ - $f$ est symétrique $\iff$ [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice de]] $f$ est [[matrice symétrique|symétrique]]