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fonction tangente hyperbolique.md

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+---
+alias: ["th", "tangente hyperbolique"]
+---
+up::[[trigonométrie]], [[fonctions]]
+properties::[[fonction impaire|impaire]], [[bijection|bijective]]
+derivative::$\dfrac{1}{\mathrm{ch}^{2}(x)}$
+description::"$\mathbb{R} \to [-1; 1]$", "$x \mapsto \dfrac{\mathrm{sh}(x)}{\mathrm{ch}(x)} = \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$"
+title::$\mathrm{th}$
+#maths/trigonométrie #maths/analyse
+
+----
+La *tangente hyperbolique* est la [[fonction]] suivante :
+
+$\begin{align*} \mathrm{th} : & \mathbb{R} \to [-1; 1]\\ & x \mapsto \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} \end{align*}$
+
+ou bien, sous une autre forme :
+$\displaystyle\mathrm{th}(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$
+
+$\sin x + \cos x - \arccos \arg \mathrm{th} $
+
+```desmos-graph
+    top=2.5
+left=-5; right=5
+    bottom=-2.5
+width=400; height=200
+---
+y = \tanh(x)
+```
+
+
+# Propriétés
+
+ - $\mathrm{th}$ est une [[fonction impaire]]
+ - dérivée : $\mathrm{th}'=\frac{1}{\mathrm{ch}^{2}}$
+ - 
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