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fonction sinus hyperbolique.md

@@ -0,0 +1,56 @@
+---
+alias: ["sh", "sinus hyperbolique"]
+sr-due: 2022-09-01
+sr-interval: 13
+sr-ease: 279
+---
+up::[[trigonométrie]], [[fonctions]]
+sibling::[[fonction cosinus hyperbolique|ch]]
+properties::[[fonction impaire|impaire]], [[bijection|bijective]]
+derivative::[[fonction cosinus hyperbolique|ch]]
+primitive::""
+description::"$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$", "$x \mapsto \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}$"
+title::$\mathrm{sh}$
+#maths/analyse #maths/trigonométrie
+
+----
+Noté $\sinh$, ou $\text{sh}$.
+$\mathrm{sh}(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}2$
+
+Elle est appelée _sinus_ car sa définition ressemble à celle de la [[fonction sinus]] dans la [[Formules d'Euler#sinus|formule d'Euler]]
+
+# Graphe
+```desmos-graph
+    top=2
+left=-2; right=2
+    bottom=-2
+width=350; height=350
+---
+y = \sinh(x)
+(0, 0) | black
+```
+
+# Propriétés
+
+$\boxed{\mathrm{ch}^{2} - \mathrm{sh}^{2} = 1}$
+$\mathrm{ch}^2 x - \mathrm{sh}^2 x = \dfrac{e^{2x}+2+e^{-2x}}4 - \dfrac{e^{2x}-2+e^{-2x}}4 = 1$
+(Voir [[fonction cosinus hyperbolique]])
+
+ - $\mathrm{sh}$ est une [[fonction impaire]]
+ - $\mathrm{sh}$ est [[fonction dérivable|dérivable]] sur $\mathbb{R}$
+     - $\mathrm{sh}$ est donc [[fonction continue|continue]]
+     - dérivée : $\mathrm{sh}' = \mathrm{ch}$ [[fonction sinus hyperbolique|sinus hyperbolique]] (existe sur $\mathbb{R}$)
+         - a pour [[tangente à une courbe|tangente]] en $0$ la courbe de $y = x$
+ - $\mathrm{sh}$ est [[fonction croissante|strictement croissante]]
+ - [[asymptote]] à $\mathrm{ch}$ en $+\infty$ et à $-\mathrm{ch}$ en $-\infty$
+     - $\mathrm{sh} \underset{+\infty}{\sim} \mathrm{ch}$ ([[fonctions équivalentes|équivalentes]]) et $\mathrm{sh} \underset{-\infty}{\sim} -\mathrm{ch}$
+ - $\mathrm{sh}$ est une [[bijection]]
+     - $\mathrm{sh}$ est [[fonction continue|continue]] car elle est [[fonction dérivable|dérivable]]
+     - $\mathrm{sh}$ est [[fonction croissante|strictement croissante]]
+     - toute fonction _continue_ et _strictement monotone_ est une [[bijection]]
+
+
+
+### Note
+$\sin(x) = \sinh(ix)$ soit $\mathrm{sh}(x) = \sin\left(\frac{x}{i}\right) = \sin(-ix)$
+⚠️ $\sin$ ne peut pas être défini sur $\C$ car il perd ses propriétés