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fonction signe.md

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+up::[[fonctions]]
+#maths/analyse
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+----
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+La _fonction signe_, notée $\mathrm{sgn}$ ou $\mathrm{sg}$ (parfois $\mathrm{sign}$), est une [[fonction]] qui extrait le signe d'un nombre réel.
+
+> [!definition] Fonction Signe
+> $$\mathrm{sgn}(x) = \left\{\begin{array}{lr}
+> -1 & \text{si } x < 0\\
+> 0  & \text{si } x = 0\\
+> 1  & \text{si } x > 0
+> \end{array}\right.$$
+^definition
+
+```desmos-graph
+y = -1 | x < 0 | blue
+(0, 0) | blue
+y = 1  | x > 0 | blue
+```
+^graphe
+
+# Autres définitions
+$$\sgn(x) = \left\{\begin{array}{ll}
+0 & \text{si } x = 0\\
+\dfrac{|x|}{x} \text{ ou } \dfrac{x}{|x|} & \text{si } x \neq 0
+\end{array}
+\right.$$
+
+# Propriétés
+
+Tout nombre réel peut être exprimé comme le produit de sa [[valeur absolue]] et de son signe :
+$\forall x\in\mathbb{R}, x = \sgn(x)|x|$
+
+
+La fonction signe peut être liée à la [[fonction de Heaviside]] :
+$\forall x\in\mathbb{R}, \sgn(x) = 2H(x) - 1$
+
+## Primitive
+La fonction signe peut être vue comme la [[dérivation|dérivée]] en tout réel différent de $0$ de la fonction [[valeur absolue]] :
+$\forall x\in\mathbb{R}^*, \dfrac{\d|x|}{\d x} = \sgn(x)$
+
+