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fonction réciproque.md

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+alias: [ "réciproque" ]
+---
+up::[[fonction]]
+#maths/analyse
+
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+
+Soit $f$ une [[bijection]] de $E$ dans $F$:
+$$f: E \rightarrow F$$
+On sait qu'elle est [[injection|injective]] et [[surjection|surjective]], donc $\forall y \in F, \exists!x \in E, y = f(x)$, et on peut dire qu'il existe une [[application]] $f^{-1}$ telle que :
+$$\begin{aligned}
+f^{-1}: &F \rightarrow E\\
+        &y \mapsto x \text{ tel que } y=f(x)
+\end{aligned}$$
+
+$$\begin{aligned}
+f^{-1}: &F \rightarrow E\\
+   &y \mapsto x\text{ tel que }y=f(x),\text{ avec } y\in F \text{ et } x\in E\\
+\end{aligned}$$
+
+# propriétés
+$f^{-1}$ à le même sens de variation que $f$.
+
+# [[composition de fonctions]]
+Lorsque l'on [[composition de fonctions|compose]] $f$ et $f^{-1}$, on obtient une fonction identité :
+
+$f \circ f^{-1} = id_E$     $(E \rightarrow F \rightarrow E)$
+$f^{-1}\circ f = id_F$     $(F \rightarrow E \rightarrow F)$
+
+⚠️ généralement, $f\circ f^{-1} \neq f^{-1}\circ f$, car leur [[ensemble de définition|ensembles de définition]] sont différents.
+
+# calcul de la fonction réciproque
+
+## Exemple
+$$\begin{aligned}
+f: &\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+\\
+   &x \mapsto x^2
+\end{aligned}$$
+Avec ces ensembles de départ et d'arrivée, $f$ est bien une bijection
+
+## Exemples
+Voir: [[fonction sinus]]
+Voir: [[fonction cosinus]]