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fonction indicatrice.md

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+up::[[analyse]], [[fonction]]
+#maths/analyse
+
+----
+La fonction _indicatrice_ (ou caractéristique) est une [[fonction]] définie sur un ensemble $E$ qui explicite l'appartenance ou non à un sous ensemble $F$ de $E$ de tout élément de $E$.
+Formellement, la fonction _indicatrice_ d'un sous-ensemble $F$ d'un ensemble $E$ est une fonction :
+$$
+\begin{align}
+I_F :& E \rightarrow \{0, 1\}\\
+    & x \mapsto \left\{\begin{gathered}
+        1 \text{ si } x\in F\\
+        0 \text{ si } x\notin F
+    \end{gathered}\right.
+\end{align}
+$$
+```desmos-graph
+y = x
+```
+
+# Notation
+La fonction _indicatrice_ de $F$ peut être notée :
+ - $\chi_F$
+ - $1_F$
+ - $\mathbb1_F$
+ - $I_F$ 
+
+
+# Propriétées
+Soient $A$ et $B$ sont deux sous-ensembles de $E$
+
+ - $(A \subseteq B) \iff (\chi_A \leq \chi_B)$
+ - $\chi_{\overline A} = 1-\chi_A$
+ - $\chi_{A\cup B} = \min\{\chi_A, \chi_B\} = \chi_A\times\chi_B$
+ - $\chi_{A\cup B} = \max\{\chi_A, \chi_B\} = \chi_A+\chi_B-\chi_A\times\chi_B$
+ - $\chi_{A\Delta B} = \chi_A+\chi_B-2\chi_A\times\chi_B$
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