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fonction de Leibniz.md

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+up::
+sibling:: [[combinaison linéaire]] 
+author:: [[Leibniz]]
+title::
+#maths/algèbre 
+
+---
+
+> [!definition] Fonction de Leibniz
+> Soit $\mathbf{K}$ un [[corps]] 
+> Soit $\mathcal{E}$ un $\mathbf{K}$-[[espace affine]] de direction $\vec{E}$
+> Soient $(A_1, A_{2}, \dots, A_{k}) \in \mathcal{E}^{k}$ des points de $\mathcal{E}$
+> Soient $(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda _{k}) \in \mathbf{K}^{k}$ des scalaires
+> La **fonction de Leibniz** est la fonction :
+> $$
+> \begin{align}
+> \varphi :\; & \mathcal{E} \to E \\
+>     & M \mapsto \sum\limits_{i=1}^{k} \lambda _{i}\overrightarrow{A_{i}M}
+> \end{align}
+> $$
+>
+> Par la [[relation de chasles]], on obtient : $\varphi(M) = \lambda\overrightarrow{OM} + \varphi(O)$, où $\lambda = \sum\limits_{i=1}^{k}\lambda _{i}$
+>  
+> C'est un analogue des [[combinaison linéaire|combinaisons linéaires]], mais sur des points plutôt que des vecteurs.
+^definition
+
+
+# Propriétés
+On reprends la fonction $\varphi$ de la définition, ainsi que ses coefficients : $(A_{i})$ et $(\lambda _{i})$
+On a $\lambda = \sum\limits_{i=1}^{k}\lambda _{i}$
+
+ - $\varphi$ est constante si $\lambda=0$
+     - facile à montrer car on sait que $\varphi(M) = \lambda\overrightarrow{OM}+\varphi(O)$
+ - sinon, si $\lambda \neq 0$ il existe un unique points $G$ tel que $\varphi(G) = \vec{0}$
+     - $\lambda \neq 0 \implies \exists!G \in \mathcal{E}, \varphi(G) =\vec{0}$
+     - $G$ est alors le [[barycentre d'un système de points pondérés]] du système de points pondérés $(A_{i}, \lambda _{i})_{i}$
+